Produkte von Potenzreihen f(z) := ∑(3z)n und g(z):= ∑zn

Question

Aufgabe:

Seien die Abbildungen f : U_ρf (0) → C und g : U_ρg (0) → C gegeben durch

$f(z):=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(3 z)^{n} \quad$ und $\quad g(z):=\sum \limits_{n=0}^{\infty} z^{n} .$

Bestimmen Sie die Konvergenzradien ρf von f und ρg von g .

Bei dieser Aufgabe komme ich auf pf=1/3 und pf=1 (Sollte Stimmen)

JETZT kommt der Teil den ich nicht verstehe:

Schreiben Sie f · g als Potenzreihe und geben Sie deren Konvergenzradius an.

Ich bin mir ziemlich sicher. dass ich mit dem Cauchyprodukt arbeiten muss:

$\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n}\right) \cdot\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n}\right)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\sum \limits_{k+l=n} a_{k} b_{l}\right)\left(z-z_{0}\right)^{n} .$

Aber damit komme ich nicht klar.

z0 ist immer 0 an=3⁰ und bn=1.... aber was ist k und l?

Und die darauf folgende Frage ist mir auch noch ein Rätsel. Hier habe ich keinen Ansatz. Was hat diese Potenzreihe zu tun mit der Funktion.

$h: \mathbb{C} \backslash\left\{1, \frac{1}{3}\right\} \rightarrow \mathbb{C}: z \mapsto \frac{1}{1-4 z+3 z^{2}}$ ?

Answer 1

Ich wollte hier nicht antworten, da ich euren Kurs nicht kenne und die Theorie nicht präsent habe. Deine Frage betrifft ja inzwischen nur noch das Einsetzen in eine wieder andere Formulierung der Formel, die du zuerst angegeben hast.

Diese Formel hast du.

$f(z) g(z)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} b_{n-k}\right) z^{n}$

Zudem hast du a_i=3ⁱ und b_i=1

f(z)*g(z) = ∑(3⁰ + 3¹ + 3² + .... + 3ⁿ) zⁿ

Die Summe von n=0 bis unendlich.

Nun geht's um die Klammer (Bezeichnung sn)

Darin steht eine Teilsumme einer geometrischen Reihe.

Formel für die Teilsummen (ohne Gewähr): sn = ao*(qⁿ⁺¹ - 1) / (q-1)

q=3. a₀=1 einsetzen: sn = 1*(3ⁿ⁺¹ - 1)/2 = 1/2(3ⁿ⁺¹ - 1)

f(z)*g(z) = ∑(1/2(3ⁿ⁺¹-1) zⁿ

Die s_n sind nun die Koeffizienten der Potenzreihe von f(z)*g(z)

Etwas mehr zu geometrischen Reihen: https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Jetzt müsstest du wohl noch den Konvergenzradius für die sn berechnen. Hoffentlich klappt das.

Answer 2

an=3ⁿ    und nicht 3⁰..... das war wohl ein kleiner Tippfehler

Comments

für n=0, kommt nur k=l=0 in Frage

für n=1, summierst du über k=0,l=1 und k=1, l=0.

für n=2. "                           "     k=0,l=2 und k=1,l=1 und k=2,l=0

usw.

Du musst immer dafür sorgen, dass k+l gerade n ist.

Zu deiner andern Frage.

Vermutlich hat das Polynom im Nenner die Nullstellen 1 und 1/3. Die gebrochene Funktion hätte an diesen beiden Stellen einen Pol.

1/(x-1) kann man ja als Potenzreihe schreiben. Vgl. http://mfb.informatik.uni-tuebingen.de/book/node127.html erste Formel "geometrische Reihe."

1/(3x-1) dürfte der Grenzwert deiner 2. Reihe sein.

1/(x-1) * 1/(3x-1) = 1/(3x^2 - 4x +1)

Du hättest nun mit deiner Multiplikation eine Potenzreihe für diese gebrochene Funktion bestimmt.

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Okay, das mit dem 1, und 1/3 hatte ich mir so in der Art gedacht, konnte es aber nicht wirklich in Worte fassen.

 

Aber mit dem Produkt stehe ich immer noch total auf dem Schlauch. Ich weiß nicht wirklich wie ich das angehen sollte.

 

das wäre meine Lösung, aber das kann es ja gar nicht sein?

 

Ich weiß blöd gesagt gar nicht was ich damit anfangen kann, mit der Cauchyregel. 

 

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Wenn du nun die handgeschriebene Doppelsumme meinst.

In der Mitte musst du über das Summenzeichen ein n schreiben, d.h. nicht unendlich.

Vereinfachen kannst du dann 3^{n-k} * 1 auf 3^k.

Die innere Summe ist so eine Teilsumme einer geometrischen Reihe.

Formel für die Teilsummen (ohne Gewähr): sn = ao*(q^{n+1} - 1) / (q-1)

Davon dann nochmals die äussere Summe.

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Ohjeee, ich weiß jetzt ehrlich gesagt gar nicht mehr weiter.

 

können wir vielleicht nochmal komplett von vorn anfangen??

Also das wichtigste für mich wäre jetzt eine Erklärung wie man f*g als Potenzreihe darstellt.

Und das möglichst in kleinen schritten erklärt (für etwas langsamere ^^), weil momentan verstehe ich leider nicht so wirklich wie ich das machen soll. 

Ich kann die Formeln nicht anwenden. 

also ich habe a_n=3ⁿ und b_n=1       der Betrag von z< als der kleinste konvergenzradius, also 1/3

Soo und ab jetzt brauch ich glaub n kleinen crashkurs 

 

Danke für die Geduld :-) 

 

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Mit dieser Formel kämpfe ich. (Noch als kleiner Zusatz)