Kurvendiskussion bei Funktion mit Betrag

Question

Hallöle,

ich habe eine Funktion gegeben mit:

f: [-4,4] → ℝ  f(x)= x² -4 ΙxΙ +3

Gefragt wird nach Nullstellen und Extrema.

Ich weiß nicht wie ich dabei nun mit dem Betrag umgehen muss. Da muss man doch bestimmt auch irgendwie eine Fallunterscheidung einbringen oder?? Wie leite ich einen Betrag ab?

Danke und Grüßle,

Verena

Answer 1

f(x)= x² -4 ΙxΙ +3

Dies ist ein spezieller bzw. sogar ein einfacherer Fall.
Wenn du dir die Funktion anschaust stellt du fest das diese
Achsensymmetrisch für die y-Achse ist.
x^2 ist für plus / minus x dasselbe.
Und | x | ist für plus / minus x dasselbe.

Für x > 0 gilt
f ( x ) = x² - 4 * x +3
Nullstelle
x^2 - 4 * x + 3 = 0
x = 1
und
x = 3

Weitere Nullstellen
x = -1
x = -3

1.Ableitung
für x > 0 gilt
f ´( x ) = 2 * x - 4
2*x - 4 = 0
x = 2
also auch x = -2
E ( 2 | -1 )
E ( -2 | -1 )

~plot~ x^{2}  - 4 * abs (x) + 3 ~plot~

Einen weiteren Exttrempunkt erkennst du bei
E ( 0 | 3 )

Comments

Falls du alle Extrempunkte auch mathematisch richtig erfassen willst
mußt du über die Monotonie gehen

f ´( x ) = 2 * x - 4
Monotonie > 0
2 * x - 4 > 0
x > 2

Für x = 0 gilt
0..2 : monoton fallend
2 .. ∞ : monoton steigend

-∞..-2 : monoton fallend
-2..0 : monoton steigend

Vorzeichenwechsel der Monotonie auch bei x = 0
E ( 0 | 3 )

Answer 2

Du teilst dir die Funktion auf in 2 Teile, einen für x > 0 und

einen für x<0.

Die kannst du getrennt betrachten.

Und bei x=0 musst du ohne Abl. argumentieren.

bzw: rechts von 0 fallend und

links von 0 steigend.

Dann siehst du, dass bei 0 ein rel. Max ist.

Answer 3

Mach doch 

f(x) = x^2 - 4·|x| + 3

als 2 Funktionen

f(x) = x^2 - 4·x + 3 mit x >= 0

f(x) = x^2 + 4·x + 3 mit x <= 0

Weil die Funktionen aber symmetrisch sind kann man die Diskussion ja auf x >= 0 beschränken.

Skizze