Linearkombinationen am Dreieck

Question

Die Vektoren habe ich so dargestellt, dass die Pfeile rechts von den Buchstaben sind, da ich nicht wusste, wie ich die Pfeile über die Buchstaben setzen kann.

Gegeben ist das Dreieck ΔABC. D liegt so auf der Strecke AC, dass AD→ = 1/3 AC→ und E liegt so auf BC, dass CE→ = 1/4CB→. Die Geraden BD und AE schneiden sich im Punkt F.

Nun soll ich BF→ als Linearkombination von AC→ und AB→ ausdrücken.

Ich wäre froh wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

  Ich lasse mal die Pfeile weg und schreibe so:
Es ist  BF =  x * BD   Das x kennst du erst mal nicht. aber BD = BA + AD = -AB + (1/3)*  AC also
BF = x *  -AB + (1/3)*  AC  =  - x * AB  + (1/3)* x*  AC

und  BF = (3/4)* BC + y * EA  und  EA = (1/4) * BC + CA = (1/4) * ( BA + AC ) + CA  , also
  BF = (3/4)* BC + y * ( (1/4) * ( BA + AC ) + CA )
      = (3/4)* ( BA + AC )   +   (1/4)*y *  BA +   (1/4)*y * AC  + y * CA
      = (3/4)* BA +(3/4)* AC  +   (1/4)*y *  BA +   (1/4)*y * AC  + y * CA
      = -(3/4)* AB  -   (1/4)*y *  AB +(3/4)* AC +   (1/4)*y * AC  - y * AC
  =  (  -(3/4)  -   (1/4)*  y   )  *  AB +  ( (3/4)   -  (3/4)*y ) * AC

Weil AB und AC lin. unabh. sind, muss die Darstellung von BF eindeutig sein, also
ist     - x =    -(3/4)  -   (1/4)*  y       und  (1/3)* x =  (3/4)   -  (3/4)*y  
Damit kannst du x und y ausrechnen und hast deine Lin.komb.

Comments

Vielen Dank, mit deiner Hilfe konnte ich die Aufgabe lösen.

Zu diesem Dreieck habe ich noch eine weitere Aufgabe. Hättest du vielleicht Zeit diese auch noch anzuschauen?

Sie lautet folgendermassen:

Drücken Sie AF→ in der Form AF→ = a • AE→ mit a ∈ ℝ aus.