Der Trick liegt darin, geeignete Koordinatensystem zu wählen, in denen die Flächen durch sogenannte Normalkoordinaten beschrieben werden können, die nicht voneinander abhängen.
Dafür muss man allerdings zusätzlich die sogenannten Volumenelemente der entsprechenden Koordinatensysteme bestimmen. Da du explizit nach Doppelintegralen fragst, nehme ich an, dass dir bekannt ist, dass nach einer Koordinatentransformation $$\{u=u(x,y), v=v(x,y)\}$$ das Volumenelement $$\text{d}u \text{d}v$$ folgendermaßen transformiert:
$$\text{d}u \text{d}v = \text{d}x \text{d}y \ \text{det}\ J(u,v)$$
wobei $$J(u,v)$$ die sogenannte Jacobi-Matrix
$$J(u,v) = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix}$$
ist. Diese Formel ist die mehrdimensionale Verallgemeinerung der Substitutionsregel der eindimensionalen Integration.
Nun zu den drei Aufgaben.
1.) Quader mit Kantenlängen L, B, T
Hier eignen sich die kartesischen Koordinaten (x,y,z) am besten. Es sind insgesamt drei unterschiedliche Flächen zu berechnen, die jeweils zweimal zum Ergebnis beitragen. In kartesischen Koordinaten sind Flächenelemente einfach $$\text{d}A = \text{d}x \text{d}y$$ oder ähnliches.
Damit erhält man:
$$ A = 2 \int_{0}^{L} dx \int_{0}^{B} dy + 2 \int_{0}^{L} dx \int_{0}^{T} dz + 2 \int_{0}^{B} dy \int_{0}^{T} dz \\ = 2(LB + LT + BT) $$
2.) Wir berechnen Boden- und Mantelfläche einzeln. Die Bodenfläche lässt sich in kartesischen Koordinaten folgendermaßen beschreiben:
$$x \in [-R, R]; y \in [-\sqrt{x^2-R^2}, \sqrt{x^2-R^2}], z = 0$$
Das auszuführende Integral wäre also
$$A = \int_{-R}^R \text{d}x \int_{-\sqrt{x^2-R^2}}{\sqrt{x^2-R^2}} \text{d}y,$$
was nicht unmöglich aber auf jeden Fall eher schwierig ist.
Durch die Substitution
$$ x = r \cos \phi \\ y = r \sin \phi$$
mit $$r \in [0, R], \ \phi \in [0, 2\pi]$$ erhält man stattdessen
$$A = \int_0^R r \text{d}r \int_0^{2\pi} \text{d}\phi = \pi R^2$$
wobei das zusätzliche r im Integranden aus der Funktionaldeterminate (s.o.) stammt.
Die Rechnung für die Deckelfläche erfolgt analog.
Auf dem Mantel ist die Lage noch etwas schwieriger: es gibt nun tatsächlich drei Koordinaten, die alle veränderbar sind. Beachte aber, dass bei der Vorgabe von x y direkt (bis auf das Vorzeichen) feststeht! Man kann deshalb auch hier die ganze Fläche durch nur zwei Koordinaten parametrisieren, gemäß
$$ x = R \cos \phi \\ y = R \sin \phi \\ z = z $$,
wobei R der festgehaltene Radius ist. Damit erhält man für die Mantelfläche:
$$M = \int_0^H \text{d}z \int_0^{2\pi} R \text{d}\phi \\ = 2\pi R H $$
3.) Schaffst du diese Aufgabe jetzt vielleicht selbst? Tipp: Benutze die Parametrisierung
$$ x = R \cos \phi \sin \theta \\ y = R \sin \phi \sin \theta \\ z = R \cos \theta$$
mit $$ \phi \in [0, 2\pi]; \ \theta \in [0, \pi]$$. Du solltest für die Jacobi-Determinante $$R^2 \sin \theta$$ und als Ergebnis dann $$4 \pi R^2$$ finden.
