Grenzwert lim x→0 für (sin(x)-x*cos(x))/ ((x3)+(ax4)+(bx5))

Question

Ich soll den Grenzwert bestimmen und würde gern wissen ob das passt:

lim x → 0 für folgende Gleichung: (sin(x)-x*cos(x))/ ((x³)+(ax⁴)+(bx⁵))

= (cos (x)-1*cos(x)+x*(-sin(X)))/ (3x²+4ax³+5bx⁴)

= 1/0 somit geht der y-Wert gegen 1

Wäre das richtig? 

Habe im Zähler für -x mal cos(x) die Produktregel angewendet.

Comments

cos (0)-1*cos(0)+0*(-sin(0)) = 1 - 1*1 + 0*0 = ? ... = 0

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Noch was anderes: Du darfst das so

$$ \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{f'(x)}{g'(x)}  = \  ...$$

nicht  aufschreiben. Damit das Gleichheitszeichen passt, muss vor jedem Bruch noch das "lim" stehen, denn nur der Limes/Grenzwert des Bruches ist gleich (im Allgemeinen).

Answer 1

3-mal hintereinander Regel von l'Hospital anwenden und Du erhältst als Grenzwert 1/3.

Comments

2-mal langt.

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$$ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sin { \left( x \right)  } -x\cdot \cos { \left( x \right)  }  }{ { x }^{ 3 }+{ ax }^{ 4 }+{ bx }^{ 5 } }  } =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { x\cdot \sin { \left( x \right)  }  }{ 3{ x }^{ 2 }+{ 4ax }^{ 3 }+5{ bx }^{ 4 } }  } =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sin { \left( x \right)  } +x\cdot \cos { \left( x \right)  }  }{ { 6x }+12{ ax }^{ 2 }+20{ bx }^{ 3 } }  } =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 2\cos { \left( x \right)  } -x\cdot \sin { \left( x \right)  }  }{ 6+24{ ax }+{ 60bx }^{ 2 } }  } =\frac { 2 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 3 } $$

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Kürze vor erneuter Anwendung besagter Regel mit \(x\).

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stimmt, mit kürzen gehts einfacher und schneller.