Königsberger: Epsilon Delta Beweis von derStetigkeit von x^2

Question

Hallo Forum-Mitglieder,

ich habe da mal eine kleine Frage:

Wie kömmt man zu folgender Umformung?

LG

Orbi

Answer 1

Epsilon-Delta -Beweise werden i.A. anders notiert als sie man sie erstellt.

Es ist $$|z^2-z_0^2| \leq |z-z_0|(2|z_0|+|z-z_0|) \quad (1) $$

nach den Ungleichungen im ersten Absatz.

Nimm man zusätzlich $$|z-z_0|\leq 1 \quad (2)$$ an, so ergibt sich sogar:

$$|z^2-z_0^2| \leq |z-z_0|(2|z_0|+1)$$

Das soll jetzt kleiner als Epsilon werden, gesucht ist also  eine Lösung von $$\delta(2|z_0|+1) < \varepsilon \quad (3)$$,

damit ergibt sich der "WIESO???"-Teil.

Und damit ergibt sich auch das verwendete Delta: Es muss kleiner als 1, nach (2), sein und kleiner als der Term in (3).

Comments

Vielen Warum muss man denn diese Lehrbücher so kompliziert bzw. umständlich schreiben!

Zum Glück gibt es mathelounge.de ;-)))))

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Punkt 1: Weil das andere deutlich länger wär, und die Bücher sind bereits dick genug.

Punkt 2: Es ist eigentlich nicht kompliziert oder umständlich. Wenn man einmal gesehen hat wie das gemeint ist (und das wird in den meisten Vorlesungen/Büchern gemacht) ist es nicht schwierig.

Punkt 3: Der Königsberger ist mehr ein Nachschlagewerk als ein Lehrbuch. Der Forster oder der Amman sind die deutlich eher Lehrbücher, dafür halt nicht so umfangreich.

Answer 2

Das ist eine Anwendung der Dreiecksungleichung  |a| + |b| ≥ |a+b|

mit a= z-zo und b = 2zo, dann hast du

| z-zo| + |2zo|  ≥ | z-zo + 2zo| = | z+zo|

also gilt bei   | z-zo| + |2zo| <    1 + |2zo| 

jedenfalls auch | z+zo| <    1 + |2zo| 

und wenn du jetzt das delta als Minimum von 1 und eps / (  1 + |2zo| ) wählst,

dann hast du bei   | z - zo | < delta 

| z - zo | * | z + zo | < delta *   | z + zo | < delta    *          ( 1 + |2zo|  ) 
                                                                 =  eps / (     1 + |2zo| )    *  ( 1 + |2zo|  ) = eps