Bestimmen die Konvergenzradien

Question

Ich versuche gerade die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen zu finden,ich brauche eure Hilfe,

i.$$\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 3 }^{ n } } } { x }^{ n },$$

ii.$$\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ (1+{ (-1) }^{ n }) } { x }^{ n }$$.

Bei der ersten Reihe habe ich versucht das Quotienten-Kriterum zu verwenden,dann habe ich r=9/4 gefunden,ich weiß nicht ob es richtig ist,vielleicht sollte ich das Wurzel-Kriterium verwenden?

Bei der zweiten Reihe sieht man dass man das Leibniz-Kriterium verwenden soll,ich denke sogar,dass die Reihe dirvergent ist aber was ist mit dem Konvergenzradius?

Ich bedanke mich bei Rückmeldung :)

Answer 1

Quotientenkriterium für die erste Reihe ist eine gute Idee, der Konv.radius ist allerdings 3.

Und bei der zweiten Reihe hat das leibniz-Kriterium nichts verloren, die Reihe ist nicht alternierend.

Der Konvergenzradius einer divergent en Reihe ist 0.

Comments

Bei der ersten Potenzreihe durch das Quotientenkriterium habe ich am Ende folgendes bekommen:

$$\frac { { (n+1) }^{ 2 } }{ { 3n }^{ 2 } }$$ und dann $${ \left( \frac { n+1 }{ 3n } \right) }^{ 2 }$$

Dann für jedes $$k\ge 1$$ ist die Reihe konvergent,und am Ende

$${ \left( \frac { n+1 }{ 3n } \right) }^{ 2 }\le \frac { 4 }{ 9 } <1$$ $$Der Konvergenzradius=\frac { 9 }{ 4 }$$

Und warum ist die zweite Reihe nicht alternierend?

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Der Term nach " und dann" ist nicht gleich zu dem davor.. Du hast keine 9 im Nenner.

Was soll das k in der 3 Formel, das sonst nie vorkommt?

In der vierten Formel, wozu das <1?

Und du verwendest hier das Quotientenkriterium zur Überprüfung der Konvergenz einer Reihe. Was du aber brauchst ist das (minimal verschiedene) Quot.kriterium zur Berechnung des Konvergenzradiusses einer Potenzreihe.

Und wieso sollte die zweite Reihe alternierend sein? Sie erfüllt in Meinung Augen offensichtlich nicht die Bedingung, dass die reihenglieder abwechselnd negativ oder postiv sind sind, schlicht weil alle Reihenglieder nicht-negativ sind.

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Mit k meinte ich n,Entschuldigung,mit <1 meinte ich,dass das Ergebnis kleiner als 1 ist und somit sie konvergiert.Mit der ersten Potenzreihe komme ich nicht weiter :/

Bei der zweiten Potenzreihe sehe ich jetzt, dass man nie ein negativer Wert als Ergebnis bekommt,also sie ist nicht alternierend.Aber was ist mit dem Konvergenzradius?

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"dass das Ergebnis kleiner als 1 ist und somit sie konvergiert"

Du verwendest wie bereits gesagt den falschen Satz. 

Beim zweiten, verwende ein Konvergenzreihenberechnungsverfahren deiner Wahl (es gibt ja eh eigentlich nur zwei.)

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Für das Quotientenkriterium habe ich das so notiert

r = lim (n → ∞) | an / an+1 | 

r = lim (n → ∞) (n²/3ⁿ) / ((n + 1)²/3^{n + 1}) 

r = lim (n → ∞) 3·n²/(n + 1)² = 3

Wenn ich unter II. nicht sehe das die Reihe divergiert wie gehe ich dann am besten vor?

r = lim (n → ∞) | an / an+1 | 

r = lim (n → ∞) (1 + (-1)ⁿ) / (1 + (-1)^{n + 1})

Hier gibt es ja keinen Grenzwert. Kann ich dann direkt daraus schließen, dass der Konvergenzradius 0 ist oder wäre das verkehrt?

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@Der_Mathecoach:

Der Konvergenzradius der zweiten Reihe ist 1.

Das Quotientenkriterium ist nicht anwendbar da unendliche viele a_n=0 sind.

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Also bei der zweiten Potenzreihe habe ich das Leibniz-Kriterium verwendent.Und wenn man n durch ungerade Zahlen einsetzt,erhält man immer -1 und dann immer 0.Aber mit den geraden Zahlen für n,bekommt man immer 2.Ab hier brauche ich die Fortsetzung :(

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"Also bei der zweiten Potenzreihe habe ich das Leibniz-Kriterium verwendent."

Das Thema hatten wir doch schon durch, oder? 

Die Reihe ist nicht(!!!!) alternierend, also kein Leibnizkriterium anwendbar.

Und das Leibnizkriterium sowie das Quot.kriterium wie du es aufgeschrieben hast, nützen rein überhaupt gar nichts in Hinsicht auf den Konvergenzradius einer Potenzreihe

Ich zitiere mich mal selbst:

"Beim zweiten, verwende ein Konvergenzreihenberechnungsverfahren deiner Wahl "

Bitte schlag die nach oder googel sie. Das wäre eigentlich das aller,allererste was du machen solltest wenn die Aufgaben bearbeitest. Unbekannte Begriffe nachschlagen und im Zweifelsfall nochmal das Kapitel dazu im Skript nachlesen. (Das Nacharbeiten des Skripts ist sowieso ein sehr wichtiger Teil des Studiums)