Gegeben ist die Differenzialgleichung
$$\ddot { y } +9y=2{ e }^{ t }-2{ e }^{ 2t }$$
(a) Man löse zunächst die dazugehörige homogene Differenzialgleichung. Was läßt sich
über das Verhalten der Lösung für t → ∞ sagen?
Mein Ansatz hier:
$$\ddot { y } +9y=0$$
$${ \lambda }^{ 2 }+9=0$$
$${ \lambda }_{ 1/2 }=\pm i3$$
homogene Lösung:
$$y={ c }_{ 1 }\sin { (3t)+{ c }_{ 2 }\cos { (3t) } } $$
für t → ∞ kann ich im moment nur sagen, dass dies nicht definiert ist.
(b) Man gebe diejenige Lösung von (*) an, die die Anfangsbedingungen y(0) = 0, y˙(0) = 0
erfüllt. Wie ist nunmehr das Verhalten für t → ∞.
Hier bin ich mir bei meinem Ansatz nicht ganz sicher, da wir bis jetzt als Störfunktion immer nur eine e-Funktion hatten.
Meine Überlegung:
$$y=A{ e }^{ t }+B{ e }^{ 2t }$$
$$\dot { y } =A{ e }^{ t }+2B{ e }^{ 2t }$$
$$\ddot { y } =A{ e }^{ t }+4B{ e }^{ 2t }$$
eingesetzt erhalte ich:
$$A{ e }^{ t }+4B{ e }^{ 2t }+9A{ e }^{ t }+9B{ e }^{ 2t }=2{ e }^{ t }-2{ e }^{ 2t }$$
$$10A{ e }^{ t }+13B{ e }^{ 2t }=2{ e }^{ t }-2{ e }^{ 2t }$$
$$A=\frac { 1 }{ 5 } \wedge B=-\frac { 2 }{ 13 } $$
$$y={ c }_{ 1 }\sin { 3t+{ c }_{ 2 } } cos3t+\frac { 1 }{ 5 } { e }^{ t }-\frac { 2 }{ 13 } { e }^{ 2t }$$
$$\dot { y } =3{ c }_{ 1 }\cos { (3t) } -{ 3c }_{ 2 }\sin { (3t) } +\frac { 1 }{ 5 } { e }^{ t }-\frac { 4 }{ 13 } { e }^{ 2t }$$
mit der Anfangsbedingung komme ich jetzt auf:
$${ c }_{ 1 }=\frac { 7 }{ 195 } \wedge { c }_{ 2 }=-\frac { 3 }{ 65 } $$
spätestens hier kommt es mir komisch vor. Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte, wo mein Fehler liegt oder wie der richtige Ansatz aussehen müsste.
