Bruchgleichung. Behauptung: s/(x-a) + t/(x-b) = 0 hat genau eine Lösung x in (a,b). Vor: a < b und s, t > 0.

Question

Seien a, b ∈ ℝ mit a < b und s, t > 0. Zeigen Sie: die Gleichung

s/(x-a) + t/(x-b) = 0

hat genau eine Lösung x im offenen Intervall (a, b).

Answer 1

s/(x-a) + t/(x-b) = 0      |  *(x-a)(x-b)

s*(x-b) + t*(x-a) = 0

sx - sb + tx - ta = 0

sx+tx = sb+ta

x*(s+t) = sb+ta

x = ( sb+ta ) / ( s+t)           und durch s+t kann man dividieren, da es ungleich 0 ist.

Comments

Guten Morgen mathef,

Fehlerhinweis

sx - sb + tx - ta = 0

sx+tx = sb - ta

sondern
sx+tx = sb + ta

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Danke, werde ich korrigieren.

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Man könnte eventuell erwähnen, dass

x = (t·a + s·b)/(t + s)

ein gewichtetes Mittel darstellt und damit im Intervall [a ; b] liegt.

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Ach so, den Auftrag zubeweisen, dass die Lösung in (a;b) liegt,

hatte ich ganz überlesen.

Wenn der Hinweis auf das gewichtete Mittel nicht reicht, vielleicht noch so:

x = (t·a + s·b)/(t + s) =  a +  s*(b-a) / (t+s)

= a + (b-a) * s/(t+s)

und da s,t positiv sind, liegt  s/(t+s) zwischen 0 und 1 also

x zwischen a + (b-a)*0   = a

und      a + (b-a)*1  = b    also wirklich x in (a;b).

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Hi danke es gibt nur einen Schritt den ich nicht verstehe.

Wie kommt man darauf     (t·a + s·b)/(t + s) =  a +  s*(b-a) / (t+s) 

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(t·a + s·b)/(t + s)

= (t·a + s·a - s·a + s·b)/(t + s)

= (t·a + s·a)/(t + s) + (- s·a + s·b)/(t + s)

= a·(t + s)/(t + s) + s·(b - a)/(t + s)

= a + s·(b - a)/(t + s)

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Kannst auch sowas ähnliches wie Polynomdivision machen:

(t·a + s·b)   :  (t + s) =  a +  s*(b-a) / (t+s)
a t   + s t
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          sb - st   ist der Rest bzw.  s*(b-a)

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@mathef

"... sowas ähnliches wie Polynomdivision ..."

Ist das nicht exakt die Polinomdivision ?

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@ Der_Mathecoach

Na ja, Polynom habe ich mir immer als eine Summe mit Potenzen von x mit

Zahlen als Faktoren vorgestellt.

Irgendwie ist es hier - meine ich - halt nur ähnlich.