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bitte nicht abschrecken lassen. Ich sag das, weil hier ja viele Fragen auf eher mathematisch einfachem Niveau sind und die hier komplizierter aussieht. Das täuscht aber, das ist keine besonders spezielle Frage. Also: Falls jemand hier Mathe studiert (hat) - bitte durchlesen :)

im Buch "Allgemeine Topologie" von Bartsch wird viel mit Filtern gearbeitet. Die werden als nichtleere Teilmenge der Potenzmenge einer nichtleeren Menge X, also \(\varphi\subset\mathcal P(X)\), definiert, wobei gilt:

Die leere Menge ist nicht enthalten, mit zwei Elementen \(A,B\in\varphi\) liegt auch der Durchschnitt \(A\cap B\) im Filter und aus \(A\in\varphi\) und \(A\subset B\) folgt stets \(B\in\varphi\).

Meine Frage zielt auf die letzte Eigenschaft ab und zwar bin ich davon ausgegangen, dass B selbst eine Teilmenge von X ist, d.h, dass letzte Bedingung so lautet:

$$ A\in\varphi\land A\subset B\subset X \Rightarrow B\in\varphi.$$

Nun steht aber sowohl in besagtem Buch als auch auf Wikipedia und einer weiteren Quelle nichts davon, dass B in X enthalten sein muss, was mich insofern etwas irritiert, als die Herren und Frauen Mathematiker beim Definieren in der Regel ja recht penibel sind. Aber \(B\) muss doch ebenfalls \(\subset X\) sein, sonst ergibt das keinen Sinn, oder?

Viele Grüße

Ferragus

von
Mathematik ist weder Erbsenzaehlerei noch Philisterei. Wenn sowieso alles in X lebt, dann wird B kaum aus Y (was waere das?) sein koennen.

Ist \(X=\{a,b\}\), dann wäre \(\{\{a\},\{a,b\}\}\) ein Filter auf X und z.B. \(\{a\}\subset\{a,b,c\}\). Mir ist schon klar, dass letzte Menge nicht im Filter enthalten sein kann, weil sie nicht zur Potenzmenge von X gehört. Wenn aber in einem Buch bei jeder Definition penibel auf Exaktheit geachtet wird (auch in anderen ebenso "klaren" Fällen), fällt es umso mehr auf, wenn das mal nicht der Fall ist. Oft wird in der mathematischen Literatur eben schon Erbsenzählerei in diesem Sinne betrieben und ich schließe in solchen Fällen dann erst mal nicht aus, dass ich irgendetwas falsch verstanden habe ;)

1 Antwort

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Es sind ja A und B nicht einfach nur "Filter" sondern die stehen immer im Zusammenhang

mit einer anderen Menge. Also müsste es jedes Mal eignetlich

" Filter in P(X)" heißen.

Wenn der Zusammenhang aber eh klar ist, läßt man das oft weg.

Vollständig präzise Definition findest du auf S. 33 bei

http://geom.mi.fu-berlin.de/res/teaching/ss10/topologie1/skript/faszikel_2.pdf

von 152 k

Merci :)

Wie gesagt (siehe anderer Kommentar), mich hat nur ein bisschen irritiert, dass mathematische Definitionen, insbesondere die des Grundbegriffs zu einem bestimmten Thema (zumindest in Büchern und im Gegensatz zu Beweisen etwa) in der Regel 100% exakt notiert sind und eben nur danach Offensichtliches nicht mehr immer explizit gemacht wird.

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