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Wie löse ich diese Ableitung nach t auf? :/ h '(t) = 20/3 t ^ (-2/3)

Ich komm mit der negativen Potenz nicht klar :( ♡

 

Präzisierung: 

Hier alles genau: Der abgebildete Wasserbehälter wird mit Wasser gefüllt. Der Wasserstand steigt nach der Formel h(t)=20*t^{1/3}  (t: Zeit in Minuten, h: Wasserstandshöhe in cm;
Hilfe: h`(t)=20/3*t^ (-2/3).
a) Wie hoch steht das Wasser 10 Minuten nach Füllbeginn?
b) Wann ist der Behälter voll?
c) Wie schnell steigt der Wasserstand 10 Minuten nach Füllbeginn?
d) Wann steigt das Wasser mit einer Geschwindigkeit von 1cm/min?
e) Wie groß ist die mittlere Steiggeschwindigkeit des Wasserstands bezogen auf den gesamten Füllvorgang?
Der Wasserbehälter ist 100 cm hoch und h(t) gibt immer den Wasserstand an die Form ist kegelförmig

von
Kennst du denn h(t)?
Ja (: 20 t^1/3
Also: Willst du sagen, du hast h(t) = 20 t ^{1/3}?

und  h'(t) = 20/3 t ^ (-2/3)

und jetzt willst du was berechnen? Das ist noch keine Gleichung. Da muss man noch irgendetwas wissen.

Hi. Ich hab Dir noch mal was aufgeschrieben. Wäre gut wenn Du mir sagst ob es Dir weitergeholfen hat. Sag mir bitte auch bescheid, falls etwas unverständlich oder falsch ist.

lg JR

1 Antwort

+3 Daumen
 
Beste Antwort

Hi

h (t) = 20/3*t^{-2/3} = y ; // damit ich nicht immer h(t) schreiben muss

20/3*t^{-2/3} = y; // *3/20

t^{-2/3} = y*3/20; // beide Seiten hoch (-1)

t^{2/3} = (y*3/20)^{-1}; // beide Seiten hoch(3) und hoch(1/2)

t = ±(y*3/20)^{-3/2}; y > 0

 

lg JR

 


 

von 3,7 k
Die Frage ist : Wann steigt das Wasser mit einer Geschwindigkeit von 1cm/min ?! Was heißt das dann ? Also wie habe ich dann t 3/20 = t^-2/3 Bei dem Schritt bin ich nicht weitergekommen :(

Also verstehe ich das richtig, Du möchtest die Gleichung  t*3/20 =  t^{-2/3} nach t auflösen? :)

Also wenn ich davon ausgehe, dass h'(t) = 1 cm/min, dann musst Du nur noch oben in die Gleichung, die ich aufgeschrieben habe, für y = 1 einsetzen und ausrechnen. t = 17,21, die negative Zeit ist sehr wahrscheinlich keine sinnvolle Lösung.

Es wäre aber gut, wenn Du die Aufgabenstellung hier noch etwas vollständiger beschreibst. Dann könnte ich besser auf Deine Frage eingehen.
Hier alles genau: Der abgebildete Wasserbehälter wird mit Wasser gefüllt. Der Wasserstand steigt nach der Formel h(t)=20*t^1/3 (t: Zeit in Minuten, h: Wasserstandshöhe in cm; Hilfe: h`(t)=20/3*t^-2/3). a) Wie hoch steht das Wasser 10 Minuten nach Füllbeginn? b) Wann ist der Behälter voll? c) Wie schnell steigt der Wasserstand 10 Minuten nach Füllbeginn? d) Wann steigt das Wasser mit einer Geschwindigkeit von 1cm/min? e) Wie groß ist die mittlere Steiggeschwindigkeit des Wasserstands bezogen auf den gesamten Füllvorgang? Der Wasserbehälter ist 100 cm hoch und h(t) gibt immer den Wasserstand an die Form ist kegelförmig(:Meistens verstehe ich die Vorgänge beim rechnen! Nur das auslösen halt nicht wegen den Potenzen die meist sogar negativ sind :/

Hallo

Ich schreib Dir mal auf, welche Ergebnisse ich herausbekommen habe.

 

a) Wie hoch steht das Wasser 10 Minuten nach Füllbeginn?

h(t=10) = 20*t^{1/3} = 20*10^{1/3} = 43,09;

A.: Das Wasser erreicht eine Füllhöhe von ca. 43 cm.

 

b) Wann ist der Behälter voll?

h(t) = 100;
20*t^{1/3} = 100;
t^{1/3}=5;

Um die Gleichung nach t aufzulösen braucht man die Umkehrfunktion, man muss also beide Seiten hoch drei setzen.

t = 5^3 = 125;

A.: Der Behälter ist nach 125 min gefüllt.

 

c) Wie schnell steigt der Wasserstand 10 Minuten nach Füllbeginn?

Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu berechnen braucht man die erste Ableitung.

h'(t) = 20/3*t^{-2/3};

h'(t=10) = 20/3*10^{-2/3} = 1,44;

A.: Zum Zeitpunkt t = 10 min steigt das Wasser mit einer Geschwindigkeit von 1,44 cm/min.

 

d) Wann steigt das Wasser mit einer Geschwindigkeit von 1cm/min?

Nun muss gelten h'(t) = 1;

20/3*t^{-2/3} = 1;
t^{-2/3} = 3/20;

Jetzt zu der Umformung, die Dir Schwierigkeiten bereitet. Zunächst einmal schreibe ich t^{-2/3} um:

w1

Wenn Du das auflösen möchtest muss Du die Umkehrfunktionen anwenden. Der Übersicht wegen mache ich das der Reihe nach und beginne mit der äußeren Funktion.

Hoch minus 1 kehrt man um indem man entweder beide Seiten hoch minus 1 setzt oder den Kehrbruch bildet, was auf das Gleiche hinausläuft:

w2

Nun muss die Kubikwurzel aufgelöst werden. Dazu werden beide Seiten hoch 3 gesetzt:

w3

Jetzt noch das Quadrat auflösen. Dazu wird radiziert:

w4

Negative Zeiten sind als Lösung nicht sinnvoll:

w5

A.: Zum Zeitpunkt t = 17,2 min steigt das Wasser mit einer Geschwindigkeit von 1 cm/min.

 

e) Wie groß ist die mittlere Steiggeschwindigkeit des Wasserstands bezogen auf den gesamten Füllvorgang?

Da gibt es vermutlich mehrere Möglichkeiten. Ich denke es ist am einfachsten die Zeit auszurechnen, die man braucht um das gesamte Gefäß zu füllen und dann die Höhe des Gefäßes durch die Füllzeit zu teilen.

A.: Die Füllzeit beträgt 125 min (siehe b) ). Die Höhe des Gefäßes ist 100 cm. Damit ergibt sich die mittlere Geschwindigkeit zu vm= 100 /125 cm/min = 0,8 cm/min.

 

Noch ein Hinweis. In der Rechnung habe ich keine Einheiten verwendet, da Du sie auch in Deiner Angabe nicht verwendet hast. Erst in der Antwort habe ich sie dann wieder eingefügt.

 

lg JR

Zuersteinmal ein riesengroßes Dankeschön an dich! Sehr, seeeehr nett! Und vorallem der ganze Aufwand und die Mühe (: bin bei den Aufgaben auch genauso vorgegangen ! Nur bei der einen hatte ich ja meine Probleme umzuformen und das hast du mir ja ausführlich erklärt! Vielen !!! Wirklich:) ist nichts selbstverständliches!

Freut mich, dass ich Dir helfen konnte.

Vielleicht noch eine Ergänzung. Man kann das Auflösen auch etwas schneller machen:

w6

Wenn Du Dir die letzte Zeile der Rechnung in diesem Kommentar anschaust, dann siehst Du, dass man nicht unbedingt die Exponenten umschreiben muss, wie in der ersten Zeile. Mit den Rechenregeln für Exponenten gilt nämlich (x^a)^b = x^{a*b}. Man kann also auch gleich beide Seiten mit dem Kehrbruch des Exponenten von t Potenzieren. Das kann aber unter Umständen "gefährlich" sein, weil man dann leicht übersieht, dass man die Quadratwurzel zieht und so eine positive und negative Lösung erhält (auch wenn die negative Lösung hier nicht interessiert).

lg JR

 

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