Nullstellen und Wendepunkte

Question

Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen der Funktion f.

Geben Sie anschließend die Intervalle an, in denen der Graph links- bzw. rechtsgekrümmt ist. Skizzieren Sie dann einen möglichen Graphen von f. 

h) f(x)= (x² - 9) (x^2 - 4)

Als erstes habe ich das gerechnet:

f(x)= x^4 - 4x^2 - 9x^2 + 36

f '(x)= 4x^3 - 8x -18x

f ''(x)= 12x^2 - 8 -18x

Ich stehe gerade auf dem Schlauch, weil ich nicht weiß, was ich als nächstes tun muss.

Ich bedanke mich schon im Voraus für eine schnelle Antwort.

Comments

Hi, die zweite Ableitung ist falsch und 4 plus 9 ist 13.

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Hi, wie kommt man auf die 4 plus 9? Ich habe bei der zweiten Ableitung 3 mal 4 gerechnet.

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Die zweite Ableitung ist f''(x)=12x^2-8-18 = 12x^2-26

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f(x)= x⁴ - 4x² - 9x² + 36 = x^4 - 13 * x^2 + 36
f ´( x ) = 4*x^3 - 26 * x
f ´´( x ) = 12 * x^2 - 26

Wendepunkte
12 * x^2 - 26 = 0
x = -1.47
und
x = 1.47

W1 ( -1.47 | 12.58 )
W2 ( 1.47 | 12.58 )

Zwischen W! und W2 z.B. bei x = 0
f ´´( 0 ) = 12 * x^2 - 26 = -26 entspricht Rechtskrümmung

~plot~ x^4 - 13 * x^2 + 36 ; [[ -5 | 5 | -10 | 40 ]] ~plot~

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Danke für eure Antworten :)

Answer 1

Nullstellen f(x) = 0

f(x) = (x^2 - 9)·(x^2 - 4) = 0 --> x = ± 3 ∨ x = ± 2

f'(x) = 2·x·(2·x^2 - 13)

Wendestelle f''(x) = 0

f''(x) = 2·(6·x^2 - 13) = 0 --> x = ± √78/6

Zeichne auch den Graphen damit du das was du rechnest nachvollziehen kannst.

Comments

Hi, danke für die schnelle Antwort.

Ich hätte da noch die Frage, wie du auf die zweite Ableitung gekommen bist und weshalb man nicht auch noch die Hinreichende Bedingung für Wendepunkte f '''(x) ≠ 0 benutzen muss.

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Die zweite Ableitung erhältst du in dem du die erste Ableitung nochmal ableitest:

f'(x) = 4x^3 - 26x

f''(x) = 12 x^2 - 26

In der Tat wäre es sinnvoll, die hinreichende Bedingung für Wendepunkte zu überprüfen.

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Die hinreichende Bedingung kann man sich schenken weil es einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel sind. Damit ändert sich das Krümmungsverhalten und es sich wirkliche Wendepunkte.

Bei Polynomen braucht man eigentlich NIE die hinreichende Bedingung.

f'(x) = 2·x·(2·x² - 13) = 4·x^3 - 26·x

f''(x) = 12·x^2 - 26 = 2·(6·x^2 - 13)

Wer erfahrener ist kann auch Produktregel anwenden oder konstante Faktoren eh ausgeklammert lassen.

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Jetzt habe ich verstanden, wie ihr darauf gekommen seid.

Würde bei der notwendigen Bedingung f '' (x)= 0, also 12x^2 - 26 = 0, nicht  x= 1,47 v x= -1,47 (anstatt x= ± √78/6) rauskommen? 

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Die Lösungen sind identlisch die du aufgeschrieben hast.

√78/6 = √(26/12)

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Oh, stimmt! Das sieht man mal, wie sehr ich auf dem Schlauch stand :D

Danke für eure tollen Antworten, jetzt habe ich es wirklich verstanden.

Schönes Wochenende noch!

Answer 2

  Es handelt sich um eine biquadratische Funktion  ( BQF )



     f  (  x  )  :=  x  ^  4  -  p  x  ²  +  q     (  1  )



   Mein Vorteil: Du brauchst gar nix mehr tun; ich habe bereits die Kategorienlehre für BQF erstellt. Für Regelheft, Spickzettel und Formelsammlung.  Die ===> Topologie von ( 1 ) wird ausschließlich durch den Parameter p bestimmt. Für p < 0 hast du V-Form so ähnlich wie Parabel. Dabei entspricht x = 0 dem ( absoluten ) Minimum



             f  (  min  )  =  q       (  2  )




              Für p > 0 hast du W-Form;   ( 2 ) wird nun das ( relative ) Maximum bzw. die mittlere Spitze des W . Die beiden Seitenspitzen des W entsprechen jetzt den ( absoluten ) Minima



       x1;2  (  min )  =  -/+  sqr  (  p/2  )    (  3a  )

      f  (  min  )  =  q  -  (  p/2  )  ²     (  3b  )



   Natürlich hast du auch zwei WP ; dabei gilt strenge Proportionalität


      x  (  min  )  =  x  (  w  )  sqr  (  3  )    (  3c  )