Abstand vom Mittelpunkt M eines Kreises zu einer Geraden g

Question

Ich weiß, dass ich mit der Hesseschen Normalenform arbeiten muss,
die ist mir auch bekannt.
Jedoch habe ich bisher nur den Abstand eines Punktes zu einer Ebene berechnet,
nun weiß ich nicht genau nach welchem Schema ich hier vorgehen muss und
bitte um eure Hilfe !

gegeben :
Kreis k :           x²-8x+y²+6y=0
Gerade g :      y= -x+2

Answer 1

x²-8x+y²+6y=0

x^2 -8x + 16 + y^2 + 6x +9 = 16 + 9

(x-4)^2 + (y+3)^2 = 25 also Mittelpunkt (4 ; -3 )

y = -x + 2

y + x - 2  = 0

Hesse:  (y + x - 2 ) / wurzel(2)  = 0

M einsetzzen    d =   | ( -3 + 4 - 2 ) / wurzel(2) | = 1 / wurzel(2)

Comments

Du kannst aber auch durch M(4 ; -3 ) eine Gerade mit der Steigung 1
legen und diese mit der gegeb. Geraden schneiden.
Länge von M zum Schnittpu. ist dann auch der Abstand.

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Okay, das Schema habe ich Verstanden danke !

Aber wie komme ich von

x²-8x+y²+6y=0

auf

x² -8x + 16 + y² + 6x +9 = 16 + 9 ??

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Was mich am meisten wunder ist die 5² bzw. 25 für den Radius...

Wo kommt die auf einmal her ?!

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Aber wie komme ich von

x²-8x+y²+6y=0

auf

x² -8x + 16 + y² + 6x +9 = 16 + 9 ??
quadratische Ergänzung!
Du musst ja die binomi. Formel anwenden können.

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alles klar , schon verstanden :-)

Answer 2

Zuerst muss man den Kreismittelpunkt ausrechnen:

Formel: (x - x_M)² + (y - y_M)² = r²

x² -8x +4² + y + 6y + 3² = 25

(x-4)² + (y+3)² = 5²

M(4|-3), r =5

Jetzt berechnest du die Gleichung der Geraden durch M, die senkrecht auf  g steht

Diese Senkrechte hat die Steigung 1

Beide Geradengleichungen gleichsetzen -> Schnittpunkt S

Der Abstand von S und M ist der Abstand zwischen Punkt und Gerade.

Answer 3

Zunächst mal müsstest du beziehungsweise oder gewissermaßen beweisen, dass dein Kreis auch ein solcher ist. Im Verlaufe der Rechnung wirst du auch auf den Mittelpunkt geführt.
  Hier sitzen doch die ganzen Fans von der Mitternachtsformel. Selbige ist aber abgelitten von der quadratischen Ergänzung ( QE )  jetzt rächt sich das. Ich setze mal ganz cool voraus, dass du QE drauf hast:




       x  ²  -  8  x  +  y  ²  +  6  y  =  0     |   +  16     (  1a  )

       (  x  -  4  )  ²  +  y  ²  +  6  y  =  16   |   +  9     (  1b  )

       (  x  -  4  )  ²  +  (  y  +  3  )  ²  =  25  =  5  ²    (  1c  )

       (  x  -  x0  )  ²  +  (  y  -  y0  )  ²  =  R  ²        (  1d  )



    (  1d  )  ist die allgemeine Kreisgleichung; durch Koeffizientenvergleich erhältst du



     x0  =  4   ;  y0  =  (  -  3  )  ;   R  =  5     (  2  )



    Sei nunmehr   ( x | y ) ein Punkt der Geraden; der Abstand vom Mittelpunkt beträgt




     D  (  x  ;  y  )  :=  (  x  -  x0  )  ²  +  (  y  -  y0  )  ²  =  (  x  -  4  )  ²  +  (  y  +  3  )  ²  =  min   (  3a  )

  


    mit der Nebenbedingung deiner Geradengleichung



    G  (  x  ;  y  )  := x  +  y  =  2  =  const   (  3b  )




   Zum Einsatz kommt das ===>  Lagrangeverfahren; der ===> Lagrangeparameter von ( 3b ) sei k . Wir müssen die Linearkombination bilden




       H  (  x  ;  y  )  :=  D  (  x  ;  y  )  +  k  G  (  x  ;  y  )      (  3c  )



    Notwendige Bedingung für Minimum: Der Gradient von H verschwindet.



 
    H_x  =  2  (  x  -  4  )  +  k  =  0    (  4a  )

                2  x  =  8  -  k      (  4b  )

    H_y  =  2  (  y  +  3  )  +  k  =  0    (  5a  )

                 2  y  =  -  6  -  k     (  5b  )



     Wie werden wir diesen Dummy k wieder los? Subtraktionsverfahren ( 4b ) - ( 5b )




      g  (  x  ;  y  )  :=  x  -  y  =  7    (  6  )




    Bedingung ( 6 ) ist eine Geradengleichung. Eigenleistung; Beweise :  g  (  x  ;  y  )  in ( 6 ) ist die Lotgerade vom Kreismittelpunkt M = ( x0 | y0 )   in ( 2 ) auf die Gerade G  (  x  ;  y  )  in ( 3b ) Wir müssen ( 3b ) mit ( 6 ) schneiden; das Ergebnis ist immer das Selbe : 



    x  (  sch  )  =  Mittelwert  (  2  ;  7  )  =  9/2     (  7a  )

    y  (  sch  )  =  halbe Differenz  (  2  ;  7  )  =  (  -  5/2  )    (  7b  )



     Aus ( 2 ) ergibt sich der minimale Abstand zu 1/2 sqr ( 2 ) Damit haben wir ganz ohne quadratische Gleichungen die Frage entschieden " Sehne, Tangente, Passante? "