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Aufgabe:

Gegeben ist eine Matrix \( M=\left(\begin{array}{ccccc}{-5} & {1} & {4} & {2} & {-2} \\ {10} & {-2} & {0} & {1} & {3} \\ {5} & {-1} & {4} & {1} & {1}\end{array}\right) \)

(a) Betrachten Sie \( M \) als erweiterte Keoffizientenmatrix \( M=(A | b) \) eines linearen Gleichungssystems \( A x=b \). Bestimmen Sie die Lösungsmenge.

(b) Betrachten Sie \( M \) als (einfache) Keoffizientenmatrix \( M=A \) eines homogenen linearen Gleichungssystems \( A x= \) 0. Bestimmen Sie die Lösungsmenge.

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(b)

[-5, 1, 4, 2, -2]
[10, -2, 0, 1, 3] 2I + II
[5, -1, 4, 1, 1] I + III

[-5, 1, 4, 2, -2]
[0, 0, 8, 5, -1]
[0, 0, 8, 3, -1] II - III

[-5, 1, 4, 2, -2]
[0, 0, 8, 5, -1]
[0, 0, 0, 2, 0]

2d = 0 --> d = 0

8c - e = 0 --> c = 0.125e

-5a + b + 4(0.125e) - 2(e) = 0 --> a = 0.2b - 0.3e

Lösungsmenge wäre dann:

[0.2b - 0.3e, b, 0.125e, 0, e]

 

(a)

Wenn wir eine erweiterte Koeffizientenmatrix haben dann ist e einfach nur -1 und e selber verschwindet. Die Lösungsmenge lautet dann:
 
[0.2b + 0.3, b, -0.125, 0]
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