Kurvenschar fa(x)= x³+ax²+x . Für welche a gibt es 3, 2 oder 3 Nullstellen.

Question

Ich habe folgende Hausarbeit aufgekommen und komme irgendwie nicht weiter.

Die Aufgabe lautet:

fa(x)= x³+ax²+x

1) Wie muss gewählt werden, damit fa(x) 3 Nullstellen hat?

2) ......     2 Nullstellen hat?

3) ......     3 Nullstellen hat?

Hat da wer nen Tip für mich?

Answer 1

Hi,

Sagt dir der Satz vom Nullprodukt etwas?

f(x)=x*(x²+ax+1) also erstmal x ausklammern.

Wird jetzt ein Faktor dieses Produktes 0 ist auch das Produkt 0.

Also x=0 und x²+ax+1=0

Du hast also immer mindestens eine Nullstelle (x=0) plus die Anzahl der Nullstellen der quadratischen Gleichung. Kannst du die Anzahl dieser schon bestimmen?

Gruß

Comments

Über die PQ Formel? Die Formulierung: "Wie muss...." ist hält irgendwie verwirrend.

Also ausklammern und dann PQ Formel?

Doch wie muss was gewählt werden !???

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Ne schau mal:

ax²+bx+c=0 ist die allgemeine Form.

b²-4ac ist hierbei die Diskriminiante D. Das steht bei der Mitternachtsformel auch unter der Wurzel.

D <0 keine Lösung

D=0 eine Lösung

D>0 zwei Lösungen

Gruß

Answer 2

fa(x)= x³+ax²+x

1) Wie muss gewählt werden, damit fa(x) 3 Nullstellen hat? 2) ......     2 Nullstellen hat? 3) ......     3 Nullstellen hat? Hat da wer nen Tip für mich?

erst mal aus klammern:

f_a(x)= x³+ax²+x =  x * ( x^2 + ax + 1 ) und das gleich 0 setzen

x * ( x^2 + ax + 1 ) = 0 

So ein Produkt kann nur 0 sein, wenn einer der Faktoren 0 ist, also

x = 0    oder         x^2 + ax + 1  = 0 

Das erste hängt nicht von a ab, EINE Nullstelle ( nämlich bei x=0) gibt es also immer.

Beim 2. gilt   nach der pq-Formel   x = -a/2 ± √( a^2 / 4  - 1 )

Das liefert EINE weitere Nullstelle genau dann, wenn der

Radikand ( also das was in der Wurzel steht) 0 ist, also

a^2 / 4  - 1 = 0   bzw   a^2 / 4  = 1   bzw.  a^2 = 4   also bei a=2 und bei a=-2 .

D.h.  Für a=2 und für a= -2 hat die Funktion f_a genau 2 Nullstellen, nämlich bei

x=0  und bei x = -a/2 .

Wenn der Radikand negativ ist, würde man die Wurzel gar nicht ziehen

können ( Wurzel aus neg. Zahl geht nicht.) und das wäre bei

a^2 / 4  - 1 < 0

a^2 / 4  < 1

a^2 < 4   also a zwischen -2 und 2 .   Also 2. Ergebnis:

Für -2 < a < 2 hat die Funktion f_a genau EINE Nullstelle, nämlich x=0.

Bleibt die Frage: Was ist bei a<-2 oder a>2 ?

Da ist der Term in der Wurzel ( also das  a^2 / 4  - 1 ) positiv und man kann die

Wurzel ziehen , allerdings lässt sich nichts mehr sonderlich sinnvoll vereinfachen,

es ist also einfach nur  √( a^2 / 4  - 1 ).   Dann hat also f_a genau 3 Nullstellen, nämlich

bei x=0   und bei x = x = -a/2 ± √( a^2 / 4  - 1 ).

Damit hast du die drei Fälle sauberhergeleitet.