Fläche einer Kurventangente berechnen

Question

Welchen Inhalt hat die Fläche, die von der Parabel p: x² -3y=0, der Kurventangente in P (6/ yp) und der x-Achse begrenzt wird?

Lösung: 6

Kann mir jemand diese Aufgabe bitte verständlich erklären?

Comments

Wie oft sollen wir dir diese Aufgaben noch "verständlich erklären".

Offensichtlich meinst du damit immer "vorrechnen".

Verständnisfragen hättest du doch schon bei den vorangegangenen Aufgaben klären können.

Du könntest zumindest mal eine Skizze anfertigen und posten!

Answer 1

Für Spickzettel und Regelheft. Die Tangente g ( x ; x0 ) in x0 ist der lineare Anteil der ===> Taylorentwicklung



   g  (  x  ;  x0  )  :=  f  (  x0  )  +  (  x  -  x0  )  f  '  (  x0  )       (  1a  )



     Stimmt ja auch; denn



     g  (  x0  ;  x0  )  =  f  (  x0  )        (  1b  )

     f  (  x  )  =  1/3  x  ²     (  2a  )

      x0  =  6  ===> f  (  x0  )  =  12      (  2b  )



     (  2b  )   ist die vertikale  Katete des von dir zu bestimmenden Dreiecks; die Hypotenuse ist besagte Tangente. Aus ( 2a ) folgt



      f  '  (  x  )  =  2/3  x      (  3a  )

      x0  =  6  ===> f  '  (  x0  )  = 4    (  3b  )




     ( 2b;3b ) einsetzen in ( 1a )



   g  (  x  ;  6  )  =  12  +  4  (  x  -  6  )  =  4  (  x  -  3  )     (  4  )



   Rein zufällig ist es uns durch das Ausklammern der 4 auch gelungen, die Nullstellenform der Tangente anzugeben; wir haben x ( n ) = 3 . Du musst aber die Differenz bilden zu x0 = 6 ( Zeichnung ! ) so dass sich die horizontale Katete zu 3 ergibt.  Und aus den beiden Kateten der Flächeninhalt; das schaffst du sicher alleine.

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Nur weil du eigens fragst. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollte eigentlich 18 raus kommen und nicht 6 .

Answer 2

Du musst erst mal die Gleichung umstellen  x^2 - 3y = 0

gibt    y = x^2 / 3 also  y ' = 2/3 x    Und  P ist dann  ( 6 | 12 )

Und dort hat die Tang. die Steigung m= f ' (6) = 4 und geht durch (6 | 12 )

also wird aus  y = mx + n

12 = 4*6 + n  also n = - 12

Damit Tangente:   y = 4x - 12

~plot~x^2 / 3 ; 4x-12; [[ 0 | 7 | -12 | 12 ]]~plot~

Tangente schneidet die x-Achse bei x=3.

Für die Fläche brauchst du also 2 Integrale

$$ \int_{0}^{3}\frac { x^2 }{ 3 }dx = 3$$
$$ und \int_{3}^{6}(\frac { x^2 }{ 3 }-(4x-12))dx = 3$$

Gibt insgesamt 6.

Comments

Stimmt es, dass man von 6 zu 3 integriert, weil die Tangente sich bei der x- Achse schneidet und der Punkt bei 6 ist?

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Genau. Man intergiert von 3 bis 6 weil die Tangente die x-Achse an der Stelle 3 schneidet und die Parabel an der Stelle 6 berührt. An diesen Stellen wird ja die Fläche begrenzt.

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In dem Bereich von 3 bis 6 liegt die Fläche zwischen

Tangente und Funktionsgraph. Deshalb wird hier auch

Funktionsterm minus Tangente

integriert.

Answer 3

Eine Kurventangente hat genau so wenig eine Fläche, wie eine Parabel, ...

Das sind Linien. Flächen haben 2 Dimensionen.

Mach dir als Erstes eine Skizze und färbe das gesuchte Flächenstück ein.

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Stimmt es, dass ich nun die Tangentengleichung herausfinden muss:

t(x)= y= mx+q

y= x²/3     x=6

Nun muss man doch m herausfinden, indem man die zweite Ableitung der Funktion nimmt. Wenn man das m hat kann man das q herausfinden und man hat die Tangentengleichung.

Ich weiss aber nicht, wie man die 2. Ableitung von p: x²-3y bildet. Das y verwirrt mich..

Man integriert mit 6 und 0...Die Tangentengleichung - Funktion= Fläche

Oder nicht??

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Ja, du musst die Tangentengleichung herausfinden.

Für dein m brauchst du die Steigung von p an der Stelle x=6. Diese erhältst du mit der ersten und nicht der zweiten Ableitung von p. Die Ableitung bildest du, indem du p nach y auflöst und dann nach x ableitest.

Von wo bis wo du integrieren musst, ist noch nicht ganz klar. Der beste Tipp wurde dir bereits gegeben: Mach zuerst eine Skizze.