Newtonsche Abkühlungsgesetz. Ist das Getränk zu heiß?

Question

die Aufgabe besteht darin herauszufinden, wann das Getränk kühler ist. Dazu hat man zwei Möglichkeiten das Getränk abzukühlen. 

1. Das Getränk kühlt zuerst 10 Minuten ab und anschließend wird etwas kaltes Wasser hinzugefügt.

2. Das kalte Wasser wird sofort in den Kaffee geschüttet und anschließend kühlt das Getränk 10 Minuten ab.

Für die Untersuchung kann das Newtonsche Abkühlungsgesetz: u'(t)=-k*u(t)+k*a sowie eine angepasste Variante der Richmannschen Mischungsregel T=p*T₀+q*T₁/p+q hilfreich sein.

u= Temperatur des betrachteten Objekts

a= konstante Umgebungstemperatur

k größer als 0= konstante Abkühlungsrate

T= resultierende Temperatur aus einer Mischung von zwei Flüssigkeiten sowie p mit T₀ und q mit T₁ den Flüssigkeitsmengen mit den jeweiligen Temperaturen.

Wir haben keine Werte erhalten, die wir einsetzen können. Also, muss man irgendwie erstmal die allgemeine Lösung herausfinden, durch Variation der Konstanten oder durch Aufsuchen der partikulären Lösung. Und genau da hört es bei mir auf :D. Kann mir bitte jemand dabei helfen ^^.

Comments

Hi, also als erstes würde ich mir im Internet angucken, wie man diese Art von DGLen löst. Variation der Konstanten ist da schon das richtige Stichwort. Das Verfahren sollte sitzen, dann kann man hier weitermachen. Ansonsten wird das schnell nicht nachvollziehbar. :P

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Jaaa, die Sache ist die, das ich eigentlich schon mehr oder weniger verstanden habe wie das geht.

Zuerst muss man bei einer linearen inhomogenen DGL 1.Ordnung vom Typ g(x)=y'+f(x)*y die Störfunktion "0" setzen. Also g(x)=0, um mit Hilfe der Variablentrennung, die dadurch entstandene homogene DGL, zu integrieren. Anschließend wird die Integrationskonstante, durch "Variation der Konstanten" zu einer unbekannten Funktion ersetzt. Danach wird die erste Ableitung gebildet und y sowie y' in die inhomogene DGL eingesetzt und stellen die Gleichung nach der abgeleiteten unbekannten Funktion um, um wieder zu Integrieren, wodurch man eine Lösung für diese unbekannte Funktion erhält. Dann muss man nur noch alle bekannten Werte in y einsetzen und fertig^^. Aber irgendwie kann ich das nicht auf diese Aufgabe anwenden. 

Answer 1

u'(t)=-k*u(t)+k*a = k * (a - u(t))

Die Abkühlung ist proportional zur Temperaturdifferenz zwischen dem Getränk und der Umgebungstemperatur.

D.h. je größer diese Differenz ist, desto größer ist auch die Abkühlung. 

Mischt man also zuerst kaltes Wasser dazu sinkt die Temeraturdifferenz und in den 10 Minuten haben wir keine so starke Abkühlung, als wenn man noch nichts hinzukippt.

D.h. kippen wir zunächst nichts dazu ist die Abkühung in den 10 Minuten größer und das Getränk wird kälter sein als wenn ich zunächst etwas dazu mische.

Geht es jetzt nur darum, dass du gerne die Funktion u(t) haben möchtest ? Das erfüllt die Funktion

u(t) = a + c * e^{-k*t}

u'(t) = - c·k·e^{- k·t} = k * (a - (a + c * e^{-k*t})) = k * (a - u(t))