lagebeziehung zwischen Ebenen und geraden

Question

Könnte mir jemand am folgenden Beispiel allgemein erklären wie man untersucht, ob die Gerade g und die Ebene E Schnittpunkte miteinander haben?

g:x=(3 2 1)+r*(1 -1 0) ; E:x= (2 0 -1)+s*(2 1 1)+t*(-1 3 1)

Answer 1

Gemeinsame Punkte von Gerade und Ebene lassen sich auf zwei Arten beschreiben:

1. Durch die Parameterdarstellung der Geraden (es gibt also ein r, so dass (3 2 1)+r*(1 -1 0) ein gemeinsamer Punkt ist).

2. Durch die Parameterdarstellung der Ebene (es gibt also s und t, so dass (2 0 -1)+s*(2 1 1)+t*(-1 3 1)  ein gemeinsamer Punkt ist).

Löse deshalb das Gleichungssystem (3 2 1)+r*(1 -1 0) = (2 0 -1)+s*(2 1 1)+t*(-1 3 1).

Bei genau einer Lösung gibt es genau einen Schnittpunkt, bei unendlich vielen Lösungen liegt die Gerade in der Ebene und bei keiner Lösung ist die Gerade parallel zur Ebene.