Warum muss jeder Untervektorraum den Nullvektor enthalten?

Question

die obige Frage trifft mein Anliegen recht genau. Warum ist das so? Warum muss jeder Unterraum eines Vektorraums mindestens den Nullvektor enthalten? Nur um sicher zu gehen, dass der Unterraum nicht gleich der leeren Menge ist?

Answer 1

Ist U ⊆ V ein nicht leerer Untervektorraum von V, dann gibt es ein v ∈ U.
Weiter ist dann 0·v = 0 ∈ U oder auch v+(−v) = 0 ∈ U. Das heißt, ein
Unterraum, der den Nullvektor nicht enthält, müsste leer sein. Das
ist jedoch durch die Definition eines Vektorraumes ausgeschlossen.