Doppelwinkelfunktion Herleitung

Question

Ich hatte bei folgender Aufgabe zunächst eine DGL gegeben, die ich lösen musste.

DGL:
x'' = -4x

a) Lösen der DGL => Lösung war: c₁*cos(2t)+c₂*sin(2t)

b) Überprüfe,ob sin(t)cos(t) eine Lösung ist. => Einsetzen => passt.

c) Zeige mit a und b, dass sin(2t) = 2sin(t)*cos(t)

Habe Probleme bei der c. Der Beweis per Spezialfall der Additionstheoreme ( sin(t+t) ) ist einfach, aber hier habe ich keine Ahnung, wie ich das mit den vorherigen Aufgaben lösen soll.

c₁*cos(2t)+c₂*sin(2t) = sin(t) *cos(t)
Gleichsetzen ist zwar logisch, die spezielle Lösung mit der allgemeinen Lösung dargestellt werden kann, aber ich habe keinen Schimmer, was nun gemacht werden soll.

Comments

Werte für t einsetzen,mit denen sich c₁ und c₂ einfach bestimmen lassen. Rauskommen muss ja c₁=0 und c₂=1/2.

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Wie meinst du das? Ich kann doch nicht einfach Werte für t einsetzen, damit lassen sich doch c für einige t bestimmen und nicht für alle.

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Hmm? Du weisst, dass alle Lösungen als Linearkombination von cos(2t) und sin(2t) darstellbar sind. Der Lösungsraum ist ein zweidimensionaler Vektorraum mit Basis {cos(2t), sin(2t)}. Also muss, da sin(t)*cos(t) auch eine Lösung ist,  c₁*cos(2t)+c₂*sin(2t) = sin(t) *cos(t) identisch in t für passende c_1, c₂ gelten.

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Ja das ist doch das,was ich bereits für die Frage geschrieben habe oder nicht?

Answer 1

Damit die "offene Frage" erledigt ist:

da nach [b)]   y = sin(t) • cos(t) eine Lösung der DGL ist, gilt nach [a)] mit passenden c₁ , c₂ für alle t ∈ ℝ :

sin(t) • cos(t)  = c₁ • cos(2t) + c₂ • sin(2t)

speziell für t = 0:           0 • 1 =  c1 • 1 + c₂ • 0                      ->    c₁ = 1

speziell für t = π/4 :    1/2 • √2 • 1/2 • √2 =  0 • 0 + c₂ • 1    ->   c₂ = 1/2

also:   sin(t) • cos(t)  = 1/2 • sin(2t)

und damit:  sin(2t) = 2 • sin(t) • cos(t)

[ Ich bin mir bewusst, dass hier nichts Neues steht!  Vgl. 1.Zeile ]

Comments

Ah okay. Darauf hätte ich auch kommen können. Habe nur nicht richtig nachgedacht. Danke :)