Extremwertaufgabe: Konservendose mit minimaler Oberfläche

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Welche Form hat eine Konservendose von 1Liter Inhalt, deren Oberfläche minimal ist ?

Gefragt 26 Sep 2012 von Anes

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Die Konservendose hat insgesamt zwei Parameter, nämlich die Höhe h und den Radius r.

 

Für das Volumen gilt: V = πhr2

Für die Oberfläche gilt: O = OMantel + 2*ODeckfläche

OMantel = 2πrh

OFläche = πr2

Daraus folgt: O(r, h) = 2πrh + 2πr2 = 2π(rh+r2)

Bei bekanntem Volumen kann man nun eine Variable eliminieren (z.B. h) indem man die Formel zu

h = V/(πr2)

umstellt.

Aus der Oberflächenformel wird dann:

O(r) = 2π*(V/πr + r2)

Nun muss die Oberflächenformel nach r abgeleitet und die Ableitung mit Null gleichgesetzt werden, um ein Extremum zu finden:

O'(r) = 2π*(2r - V/(πr2)

0 = 2π*(2r - V/(πr2)

0 = 2r - V/(πr2)

2r = V/(πr2)

2r3 = V/π

r3 = V/(2π)

r = 3√(V/(2π))

Setzt man das Volumen 1dm3 ein, so erhält man:

r = 3√(1/(2π)) dm ≈ 0,54dm = 5,4cm

 

Mit der Höhe:

h = V/(πr2)

h = 1dm3/(π*(0,54dm)^2) ≈ 1,08dm = 10,8cm

 

Das Gefäß muss also eine Höhe von 10,8cm und einen Radius von 5,4cm haben. Bist du sicher, dass der Inhalt von 1l richtig ist? Ich habe noch nie eine Konservendose mit einem Liter Inhalt gesehen.

Die Probe zeigt:
πhr2 ≈ π*(0,54dm)2 * 1,08dm ≈ 1

Beantwortet 26 Sep 2012 von Julian Mi Experte X

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