Beweis durch Ringschluss (Überprüfung der roten Markierung)

Question

das rot markierte kommt mir komisch vor:

Bemerkung:
Seien X, Y Mengen und f: x ↦ y eine Abbildung. Es sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(i) f ist Injektiv
(ii) Für alle x₁ und x₂ aus X mit f(x₁) = f(x₂) gilt bereits x₁ = x₂
(iii) ∀y∈Y ist M f^-1({y}) höchstens ein elementig.

Beweis (durch Ringschluss):
Wir zeigen (i) => (ii) aus (ii) => (iii) und aus (iii) folgt (i).

Zu „(i) => (ii)“ Gelte f ist injektiv, das heist ∀x₁,x₂∈X: (x₁≠ x₂ => f(x₁) ≠ f(x₂))
(Wir nutzen ((A => B) ó (¬B => ¬A))
Dann gilt ∀x₁,x₂∈X: (f(x₁) = f(x₂) => x₁ = x₂)

Zu „(ii) => „iii)“ Gelte ∀x₁,x₂∈X: (f(x₁) = f(x₂) => x₁ = x₂)
Sei y ∈ Y, dann betrachten wir die Menge:
f^-1({y}) = {x ∈ X | f(x) ∈ {y} = {x ∈ X | f(x) = y}
Angenommen es gibt x1 ≠ x₂ ∉ f^-1({y}).
Dann gilt aber f(x₁) ∈ {y} und f(x₂) ∈ {y}, also f(x₁) = y und f(x₂) = y,
insbesondere also f(x₁) = f(x₂)
=> x₁ = x2 (Widerspruch) Also f^-1({y}) eindeutig.

Zu „(iii) => (i)“ Gelte also ∀y∈Y, dass f^-1({y}) höchstens ein Element ist.
Seien x₁, x₂ aus X mit der Eigenschaft x₁ ≠ x₂. Ziel: f(x₁) ≠ f(x₂).
Angenommen es gilt f(x₁) = f(x₂) ∈ Y.
Betrachte: f^-1({f(x₁)}) = {x ∈ X | f(x) = f(x₁) = f(x₂)}
Es gilt x₁ ∈ f^-1({f(x)}) und x₂ ∈ f^-1({f(x₁)})
Da x₁ ≠ x₂ gilt #f^-1({f(x₁)}) ≥ 2
Also f(x₁) ≠ f(x₂)

Warum ≥ 2 ???? Hat der Tutor da etwas falsch gemacht? Wenn ja,
was wird anstatt von 2 eingesetzt?

Florian T. S.

Answer 1

warum komisch ist doch richtig. Wenn \(x_1\) und \(x_2\) unterschiedlich sind und beide Elemente des Urbilds von \(f(x_1)\) sind, so hat das Urbild mindestens 2 Elemente. Das steht da und genau an dieser Stelle hat man seinen Widerspruch erhalten.

Gruß

Comments

Jetzt hab' ichs verstanden, ich brauch mal was zu essen :-D
Danke Yakyu

Answer 2

Der Widerspruchsbeweis erscheint mir ziemlich seltsam formuliert  und ist auch sehr umständlich:

∀y∈Y,  f^-1({y}) hat höchstens ein Element

=> Zwei verschiedene x-Werte aus X haben verschiedene Bilder

=> f ist injektiv