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Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum und seien u,v,w Element V drei gegebene Vektoren, wobei u+v+w=0. Zeigen sie, dass dann

L{(u,v})=L{(v,w)}=L{(w,u}) gilt


Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen ? Ich weiß nicht mal, wie ich damit anfangen soll.

Nachtrag:  L ist die lineare Hülle.

von

L ist "lineare Hülle" oder was?

Ja, L ist die lineare Hülle

Gut. Habe ich ergänzt.

Warum schreibst du "Gleichungen" im andern Kommentar? Ich sehe keine Gleichheitszeichen.

Mathef hat doch auch eine Gleichung x ? Hab mich nur an seinem orientiert.

1 Antwort

+1 Daumen

L{(u,v}) soll ja wohl die lineare Hülle (das Erzeugnis) von u und v sein,

( nicht etwa so   L({u,v})   ???

 also alle x∈V, die sich mit irgendwelchen a,b aus K in der Form

x = a*u+b*v   bilden lassen.

1. L{(u,v})⊆L({v,w}).

Sei also x ∈L({u,v})

==> Es gibt a,b aus K mit x =  a*u+b*v   #

wegen u+v+w=0 ist  u =  -v - w und das

eingesetzt bei # gibt   x =  a*(-v-w) +b*v = (b-a)*v + (-a)*w

also eine Linearkombination von v und w und somit

ein Element von L({v,w}).

Ähnlich kannst du auch  L{(v,w})⊆L({u,v}) beweisen und hast

damit den 1. Teil der Gleichung.

von 198 k 🚀

Also so :

2. L{(v,w)}⊆ L{(u,v)}

Also x∈ L{(v,w)}

-> a,b aus K mit x=a*u+b*v

Wegen u+v+w=0

V=-u-w und das einsetzten

x=a*u+b*(-u-w)

3.  L{(v,w)}⊆ L{(w,u)}

Also x∈ L{(w,u)} 

-> a,b aus K mit x=a*v+b*w

Wegen u+v+w=0 

w=-u-v  und das einsetzten 

x=a*v+b*(-v-u)

3.  L{(w,u)}⊆ L{(v,w)}

Also x∈ L{(v,w)} 

-> a,b aus K mit x=a*v+b*w

Wegen u+v+w=0 

V=-u-w und das einsetzten 

x=a*(-w-u)+b*w

Und diese 4 Gleichung dann zusammen schreiben und v,w,u raus bekommen ? 

Wenn du das in Form eines Ringschlusses machen willst, reicht auch

L({u,v})⊆L({v,w}) ⊆ L({u,w})  ⊆ L({u,v}).

Du hast immer noch die Klammern etwas ungewöhnlich.

Naja aber ich muss es doch beweisen? Oder nicht?

Na klar, so wie das oben war, du brauchst dann aber nur

drei Teilmengenbeziehungen zu beweisen und nicht 4.

Also muss ich dein 1. aufschreiben und mein 2. Nur mit L({v,w})⊂L({u,w}) und 3. L({u,w}) ⊆ L({u,,v}) ?

Dann hab ich 3. Gleichungen oder ?

1. -ab+bv-aw

2. -bw-bu+au

3. -av+bv-aw

Die Gleichungen allein reichen wohl nicht,

du musst dann schon nach eine Argumentation in der Art wie

ich es versuchte dazu schreiben.

Wie jetzt ?

Wohin denn ?

Oder meinst du, ich soll zu dem Verlauf Kommentare schreiben ?

Sind die Gleichungen den richtig? Oder nicht ? Muss ich da noch was berechnen..

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