Graph der Funktion tangente die parallel zur x-Achse verlaufen

Question

An welchen Stellen hat der Graph der Funktion f mit f(x)= 0,5x⁴ - 0,5x²   Tangenten, die parallel zur x-Achse verlaufen? 

Bitte mit Rechenweg zum nachvollziehen. Ich verstehe das nämlich nicht. ☺️

Answer 1

An welchen Stellen hat der Graph der Funktion f mit f(x)= 0,5x⁴ - 0,5x²  
Tangenten, die parallel zur x-Achse verlaufen?

Die x-Achse hat die Steigung 0.

Parallelen dazu haben auch die Steigung 0.

Gesucht sind also Stellen der Funktion für die gilt
f ´( x ) = 0

f ( x ) = 0,5x⁴ - 0,5x² 
f ´( x ) = 2 * x^3 - x

2 * x^3 - x = 0
x * ( 2x^2 -1 ) = 0
Satz vom Nullprodukt : ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer
der Faktorn 0 ist.

x * ( 2x^2 -1 ) = 0
x = 0
und
2x^2 -1 = 0
2x^2 = 1
x^2 = 1/2
x = ± √ (1/2)

~plot~ 0.5 * x^4 - 0.5 * x^2 ~plot~

An welchen Stellen hat der Graph der Funktion f mit f(x)= 0,5x⁴ - 0,5x²  
Tangenten, die parallel zur x-Achse verlaufen?
Die Stelle ( 0  | 0 ) liegt auf der x-Achse und ist keine Parallele zur x-Achse.
Durch die Stellen
(  √ (1/2) | f ( √ (1/2))
und
(  - √ (1/2) | f ( - √ (1/2))
laufen Tangenten die parallel zur x-Achse sind

Answer 2

Die Fragestellung ist gleichbedeutend mit "an welchen Stellen ist die erste Ableitung null".