Bestimme sämtliche Untergruppen zu einer Gruppe

Question

Gegeben sei eine Gruppe G die durch folgende Tafel beschrieben werden kann

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

Bestimmt werden sollen sämtliche Untergruppen von G.

Wie geht man hier am besten vor ?

Answer 1

Vorausgesetzt ist anscheinend, dass {e,a,b,c} eine Gruppe ist.

Schaue einfach, wie du durch Verknüpfung nicht aus der Tafel rauskommst.

e muss ja vorkommen.

teste {e,a}, {e,b},{e,c},{e,a,b},{e,a,c},{e,b,c}, usw.

Kontrolliere bei den Gruppenaxiomen.

Beispiel:

Da a*b = c ist {e,a,b} keine Untergruppe.

Comments

{e, a} ist eine Untergruppe

{e, b} ist eine Ungergruppe

{e, c} ist eine Untergruppe

{e, a, b} ist keine Untergruppe weil a * b = c

{e, a, c} ist keine Untergruppe weil a * c = b

{e, b, c} ist keine Untergruppe weil b * c = a

wie ist das mit {e} ? Geht das. Eine Gruppe wo nur das e drin ist ? Sollte auch gehen oder?

wie ist das mit {e, a, b, c} also der Gruppe selber. Wäre das Gleichzeitig auch eine Untergruppe ? So wie eine Teilmenge auch alle Elemente der übergeordneten Menge enthalten kann?

Wäre nett wenn du mal auf Richtigkeit prüfen könntest

---

Dreielementige Teilmengen können grundsätzlich keine Untergruppen einer vierelementigen Gruppe bilden. Die Gruppe selbst sowie die Teilmenge, die nur das Einselement enthält, sind immer Untergruppen.

---

Gast: Einverstanden.

---

Ich bedanke mich recht herzlich bei euch beiden.