Beweisen von Untergruppen, Ring etc.

Question

Aufgabe:

5 Z = {5k : k ∈ Z}
(a) Beweisen Sie, dass (5 Z, +) eine Untergruppe von (Z, +) ist.
(b) Beweisen Sie, dass (5 Z, +, ·) ein Ring ist.
Hinweis: Gemeint ist in dieser Aufgabe ein kommutativer Ring, d.h. im Gegensatz zur
Definition in der Vorlesung muss hier nicht gezeigt werden, dass das neutrale Element
der Multiplikation im Ring enthalten ist.
(c) Beweisen oder widerlegen Sie, dass (5 Z, +, ·) ein Körper ist.

Kann mir jemand hierbei helfen?

Liebe Grüße!

Answer 1

Beweisen Sie, dass (5 Z, +) eine Untergruppe von (Z, +) ist.

1. (5 Z, +) ist abgeschlossen: Seien x,y ∈ 5Z

==>  ∃a,b ∈ℤ mit x=5a und y = 5b

==>  x+y = 5a + 5b = 5(a+b) also gibt es ein z∈ℤ

(nämlich z=a+b) mit  x+y = 5z, also x+y ∈5ℤ.

2. (5 Z, +) enthält das neutr. El. von (Z,+)

Dem ist so:  0 = 5*0

3. (5 Z, +) enthält zu jedem seiner Elemente das Inverse.

Ist auch: Invers zu 5a ist 5*(-a).