berechne J^k, k element N. J ist eine 2X2 Matrix

Question

hab eine 2X2 matrix mit den einträgen:

1.zeile: 0,-1

2.zeile: 1,0

wie komme ich auf das charakteristische polynom ?bei mir kommt,wenn ich die formel anwende also X= det(J-YE)=0  =>  X=Y^2+1.

das kann ich aber nicht  nach Y auflösen.

wäre nett wenn mir jemand was dazu sagen kann.lg.

Answer 1

Betrachte mal die Matrix

[0, b;
a, 0]

Und Potenzen davon

2. Potenz

[a·b, 0;
0, a·b]

3. Potenz

[0, a·b^2;
a^2·b, 0]

4. Potenz

[a^2·b^2, 0;
0, a^2·b^2]

5. Potenz

[0, a^2·b^3;
a^3·b^2, 0]

6. Potenz

[a^3·b^3, 0;
0, a^3·b^3]

Eine gerade Potenz lässt sich also wie folgt schreiben:

[0, b; a, 0]^{2n} = [(ab)^n, 0; 0, (a·b)^n]

Eine ungerade Potenz lässt sich wie folgt schreiben

[0, b; a, 0]^{2n+1} = [0, b(ab)^n; a(a·b)^n, 0]

Jetzt bräuchtest du das ganze nur noch für deine Werte machen, bzw. deine Werte einsetzen.