Max. Und Min. einer Funktion bestimmen. f(x) := max{ x^2 - x +1 , - 3x + 4}

Question

Aufgabe 1: Bestimmen sie den Funktionsausdruck für die Funktionen \( f, g: \) IR (reelle zahlen) \( \rightarrow \) IR definiert durch

\( f(x)=\max \left\{x^{2}-x+1,-3 x+4\right\} \) und \( g(x)=\min \left\{x^{2}-x+1,-3 x+4\right\} \)

Hinweis: Es gilt \( x^{2}+2 x-3=(x+3)(x-1) \)

kann mir hier jemand weiterhelfen? Den Ansatz der Aufgabe verstehe ich. Ich verstehe das Ende nicht, wo man die Funktionen vergleicht. Was genau muss man da beachten?und was hat das mit dem max und min auf sich? Danke schonmal:) 

Comments

Das ist punktweise gemeint: Fuer jedes x ist einer von den zwei Werten der groessere oder der kleinere. Der soll als f(x) bzw. g(x) bezeichnet sein.

~plot~x^2-x+1; -3x+4;[[-2|3|-0,5|3]]~plot~

Answer 1

Graphen der Parabel und der Geraden:

Schnittstellen:

x² - x + 1 = -3x + 4

x² + 2x -3 = 0

(x+3) • (x-1) = 0

x = -3 oder x = 1

"Funktionsausdrücke:"

f(x) =  -3x - 1  für x∈ [ -3 ; 1 ]         ||   x² - x + 1  für x ∈ ] - ∞ ; -3 [ ∪ ] 1 ; ∞ [

g(x) = x² - x + 1   für x∈ [ -3 ; 1 ]   ||   -3x - 1   für x ∈ ] - ∞ ; -3 [ ∪ ] 1 ; ∞ [

Comments

Ich glaube mit unendlich machen wir das nicht. Das müsste dann x ≥ 1 und x≤ -3 heißen oder?

Soll ich dann immer eine Skizze dazu machen? Weil sonst kommt man doch gar nicht dadrauf oder?

---

"Funktionsausdrücke:"

f(x) =  -3x - 1  für -3 ≤x≤ 1 

||   x² - x + 1  für x < -3 oder x>  1

g(x) = x² - x + 1   für -3≤ x ≤ 1 

||   -3x - 1   für x < -3 oder x> 1 

statt den Zeichen = und || gehört da dein grosse geschweifte Klammer “ { " auf dein Blatt. 

und ja: eine Skizze ist wohl das Einfachste. "Punktprobe" wäre auch möglich, wenn du die Schnittstelle mal hast. 

---

IDanke. Was sagt denn max. und min aus?

---

Das Maximum von 2 Werten ist jeweils der grössere der beiden Werte (wenn beide gleich einfach dieser Wert).

Das Minimum von 2 Werten ist jeweils der kleinere der beiden Werte (wenn beide gleich einfach dieser Wert).

Nun ist ja eigentlich in der Fragestellung schon ein Funktionsausdruck angegeben und man müsste wohl gar nichts machen. Man kann natürlich mit einer stückweisen Definition der Funktion mal guten Willen zeigen, die Aufgabe nicht unbearbeitet abzugeben.

---

Wie kann ich jetzt alle x∈ R bestimmen, für die f(x) ≥ g (x ) gilt ?

Answer 2

Vielleicht könnte man kurz so vereinfachen: $$ g(x) = \min\left\{x^2-x+1,-3x+4\right\} = \begin{cases} x^2-x+1,\text{ falls } -3 < x < 1\\-3x+4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{sonst} \end{cases} $$

Comments

Das ist das gleiche in besserer Schreibweise. Die große Mengenklammer  kriege ich so leider nicht hin. Natülich nur das Endergebnis.