Berechnen Sie die Lösungsmenge der Gleichung

Question

Ich bräuchte einmal kurz Hilfe. Ich denke mal für die meisten hier ist diese Aufgabe nicht schwer, nur ich mach das gerade zu ersten mal und müsste einmal eine Müstelösung sehen damit ich es auch bald kann :-)

Berechnen Sie die Lösungsmenge der Gleichung x = Wurzel aus 2+x

Überprüfen Sie zunächst, auf welchem Bereich die Gleichung definiert ist. Achten Sie darauf, wo Äquivalenzzeichen bzw. Folgerungspfeile stehen. Führen Sie eine Probe durch.

Answer 1

x = √ (2x + 1) | Quadrieren

D [ -1/2 ; ∞ [

-> x² = 2x+1

-> x² - 2x -1 = 0

-> x = 1 - √2 ∨ x = √2 + 1

1 - √2  < 0 ist keine Lösung, da die Wurzel auf der rechten Seite nicht negativ sein kann!

L = { √2 + 1 }

Comments

ja genau das meine ich. Kannst du mir noch sagen wo die -1/2 herkommen.

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2x+1 darf nicht negativ sein, weil es unter der Wurzel steht, deshalb x ≥ - 1/2

Habe aber gerade gemerkt, dass ich deine Gleichung falsch abgeschrieben habe!

Du musst also die Lösung entsprechend verändern.

x = √ (x + 2) | Quadrieren

D [ -2 ; ∞ [

-> x² = x + 2

-> x² - x - 2 = 0

-> x² - x -2 = 0

-> x = 2 ∨ x = -1

-1<0  entfällt bei Probe

L = {2}

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Perfekt danke, hab es verstanden :-)

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x = √ (2x + 1) | Quadrieren

muß es nicht
x = √ (2 + x )
heißen ?

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Wolfgang, was hat das eigentlich mit der Aufgabe zu tun?

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@jd1344
Sei mal nicht immer so hochnäsig.
Keiner ist perfekt. Nicht einmal du.

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Vielleicht muss es auch  x = √(2+x)  heißen.

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Hatte das - beim Durchlesen der beiden Antworten der Kollegen - auch schon gemerkt und korrigiert!

Hoffe, der Fragesteller hat jetzt zwei Aufgaben verstanden!

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warum entfällt -1 bei der Probe. Wir haben doch in intervall beschlossen das es von -2 bis unendlichen gehen darf oder?

Warum ist es dann schlimm wenn -1 kleiner 0 ist  ????

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oder habe ich gerade einen denkfehler, weil ich dachte immer die wurzel aus zb 1 kann plus 1 oder minus 1 sein, und wenn sie -1 ist, dann geht die gleichung doch auf, und die -1 liegt im intervall

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setzt doch mal -1 in die Aufgabe ein, Du erhältst dann

-1=1 , kann also keine Lösung sein.

Answer 2

Meinst du \( x=\sqrt{2}+x \) oder \( x=\sqrt{2+x} \)?

In der ersten Gleichung kannst du \( x \) subtrahieren (Äquivalenzumformung) und feststellen, dass die Gleichung keine Lösung hat.

Die zweite Gleichung quadrierst du (keine Äquivalenzumformung) um die Wurzel loszuwerden und hast dann eine quadratische Gleichung.

Comments

ich meine die zweite. Ja das ist mir klar. Aber was ist mit prüfen auf welchen bereich die gleichung definiert ist. Das ist eher der teil den ich nicht verstehe

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"prüfen auf welchen bereich die gleichung definiert ist": Welche Zahlen darfst du für x einsetzen?

Zum Beispiel darfst du 5 einsetzen. Dadurch bekommst du 5=√7. Das ist zwar keine wahre Aussage, aber das macht im Moment noch nichts. Zumindest ist es eine Aussage.

Dagegen darfst du -5 nicht einsetzen, denn dadurch würdest du 5=√-3 bekommen und √-3 ist nicht definiert.

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Das Quadrieren kann eine falsche Gleichung richtig machen, deshalb brauch man nach jedem Quadrieren eine Probe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung.

Beispiel  -2 = 2 ist falsch, aber (-2)² = 2² ist wahr.

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Stimmt, das hätte ich vielleicht noch erwähnen sollen, anstatt lapidar "keine Äquivalenzumformung" zu schreiben.

Answer 3

und müsste einmal eine Musterlösung sehen damit ich es auch bald kann :-) --->Schau es dir an,

falls die Aufgae so lautet:

Comments

das ist leider falsch, den x = 2,414

Aber trotzdem danke :-)

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das stimmt nicht, mein Ergebnis stimmt .Oder die Aufgabe lautet anders.

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ja sorry, hast recht, ist mir auch gerade aufgefallen

Answer 4

Hi, hier eine weitgehend vollständige Betrachtung:
$$ x = \sqrt{ 2 + x } \quad\land\quad-2\le x \\ \Rightarrow \\ x^2 = 2 + x \quad\land\quad -2 \le x \\ \Leftrightarrow \\ \left( x = -1 \quad\lor\quad x = 2 \right) \quad\land\quad -2 \le x.\\\,\\ \text{Probe: } \\ \sqrt { 2+(-1) } \ne -1\quad\land\quad\sqrt { 2+2 } = 2. $$

Fehler in Probe behoben!