Wie optimiere ich die Produktionsfunktion mit der Cramerschen Regel

Question

Folgende Produktionsfunktion soll optimiert werden:

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Folgende Produktionsfunktion soll optimiert werden:

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Die Produktionsfunktion lautet:

x(f_1,f₂) = -0,1 f₁² + 4f₁ - 0,1 f₂² + 5f₂ + 0,1 f₁f₂

Die Nebenbedingungen lauten:

1.NB: 5f₁ + 10f₂ ≤ 500

2.NB: f₁ ≤ 40

3.NB: f₂ ≤ 40

Das optimale Ergebnis soll mittels Cramerscher Regel errechnet werden, muss ich hierfür die Lagrange-Funktion nutzen? Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen!!

Answer 1

I:$$z(x, y) = -0.1 x² + 4x - 0.1y² + 5y + 0.1x y$$
II:$$5x + 10y ≤ 500$$$$x + 2y -100=0$$
---Lagrange:
$$\Lambda(x, y, \lambda) = -0.1 x² + 4x - 0.1y² + 5y + 0.1x y +\lambda( x + 2y -100)$$
---Ableitungen:
$$\frac{\partial \Lambda(x, y,\lambda)}{\partial x}=-0.2 x + 4+0.1 y +\lambda$$
$$\frac{\partial \Lambda(x,y,\lambda)}{\partial y}=- 0.2y + 5 +0.1x +2 \lambda$$
$$\frac{\partial \Lambda(x, y, \lambda) }{\partial \lambda} = x + 2y -100$$
---Gleichungssystem:
$$0=-0.2 x + 4+0.1 y +\lambda$$
$$0=- 0.2y + 5 +0.1x +2 \lambda$$
$$0 = x + 2y -100$$
---aufräumen
$$-0.2 x +0.1 y +\lambda =-4$$
$$+0.1x - 0.2y +2 \lambda = -5$$
$$x + 2y =100$$
---Matrix
$$\begin{pmatrix} -0,2 & +0,1 & +1 \\ +0,1 & -0,2 & +2\\ +1 & +2 & \pm 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\ \lambda \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -4\\-5\\+100 \end{pmatrix}$$

... und jetzt kann man erst was mit dem Cramer machen.

Alle Angaben wie immer ohne Gewehr. Der Rechtsweg ist politisch unkorrekt und daher abgeschossen.

;)

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Okay vielen Dank schon einmal! So habe ich es auch schon einmal ausprobiert, das bedeutet aber, dass ich die 2. und 3. Nebenbedingungen erst einmal ignoriere und erst hinterher kontrolliere, ob das passt?

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Was ich oben gemacht habe, ist die 3D-Beule, die die Funktion darstellt mit der Ebene aus Bedingung II geschnitten zu haben und die resultierende Schnittkurve optimiert.

Das kann wenn man das "blind" einfach so macht, durchaus dazu führen, dass man schwer daneben haut.

Hier liegt das "Beulenmaximum" hinter der Schnittebene, also passt alles und das Optimum liegt auch sauber innerhalb der beiden anderen Vorgaben.

Tipp: versuche mal mit II: $$x + 2y -300=0$$

Da liegt die begrenzende Funktion jenseits des Optimums - was kommt nun raus ?