Vektor in Ebene projizieren

Question

ich habe hier eine Aufgabe. Ich weiß nicht, wie ich hier am besten vorgehen soll.

Gegeben ist der Vektor v und die durch den Koordinatenursprung gehene Ebene n*x=0 (||n||=1).
Berechne den von v in die Ebene senkrecht projizierten Vektor w.

Leider habe ich keinerlei weiteren Angaben ...

Answer 1

e:  \(\vec{n}\) • \(\vec{x}\) = 0 ,  |\(\vec{n}\)| = 1

V sei der Endpunkt des Ortsvektors von \(\vec{v}\)

Man muss V senkrecht auf e projizieren und erhält W.  

Der Ortsvektor \(\vec{w}\) ist dann der gesuchte Projektionsvektor:  

\(\vec{w}\) = \(\vec{v}\) + λ • \(\vec{n}\)         [#]    (W ∈ Gerade durch V mit Richtungsvektor \(\vec{n}\))

\(\vec{w}\)  in  e  einsetzen:

\(\vec{n}\) • ( \(\vec{v}\) + λ •  \(\vec{n}\) ) = 0  

\(\vec{n}\)  •  \(\vec{v}\) + λ • \(\vec{n}\)²  =  \(\vec{n}\)  •  \(\vec{v}\)  + λ • 1 = 0  ( \(\vec{n}\)² = |\(\vec{n}\)²| = 1 )

⇒  λ = - \(\vec{n}\) • \(\vec{v}\)

λ in [#] einsetzen: 

\(\vec{w}\) = \(\vec{v}\) - ( \(\vec{n}\) • \(\vec{v}\) ) • \(\vec{n}\) 

Gruß Wolfgang