Aussagen mit Logikprädikaten vereinfachen

Question 1

ich möchte folgende Aussage soweit wie möglich vereinfachen:

¬∃x∈X: ¬A(x)∧(¬(B(x)⇒B(x))∨(¬A(x)⇒A(x)))

Nach Umformen der Junktoren und bin ich auf folgendes Ergebnis gekommen:

∀x∈X: A(x)∨(B(x)⇒B(x))∧(A(x)⇒¬A(x))

Kann mir jemand sagen, ob das richtig ist, was ich raus bekommen habe?
Bzw. ist das schon komplett vereinfacht?

Dankeschön schonmal :)

Question 2

¬A(x)⇒A(x) ist äquivalent zu A(x)

¬(B(x)⇒B(x)) ist unerfüllbar, also ist auch ¬A(x)∧(¬(B(x)⇒B(x)) unerfüllbar.

Also ist zusammengenommen ¬A(x)∧(¬(B(x)⇒B(x))∨(¬A(x)⇒A(x))) äquivalent zu A(x)

Question 3

Also ist dann das Ergebnis ¬∃x∈X: A(x) = ∀x∈X: ¬A(x) ?

Question 4

Ist richtig. Das Gleichheitszeichen ist da aber etwas ungewöhlich.

Question 5

Danke :D

Das Gleichzeichen war nur im übertragenen Sinne gemeint

Question 6

Hallo oswald,

wie kommst du denn auf ¬A(x)∧(¬(B(x)⇒B(x))∨(¬A(x)⇒A(x))) äquivalent zu A(x)?

Die zu vereinfachende Aussage ist doch ¬∃x∈X: ¬A(x)∧(¬(B(x)⇒B(x))∨(¬A(x)⇒A(x))),

also: ¬∃x∈X: ¬A(x)∧(¬(B(x)⇒B(x))∨(¬A(x)⇒A(x))), dass heißt ¬∃x∈X: ¬A(x)∧ ¬(B(x)⇒B(x)) oder:¬∃x∈X: ¬A(x)∧(¬A(x)⇒A(x))?

Könnte mich jemand korrigieren falls ich falsch liege?

Question 7

@Sam94 Du hast recht. Ich habe ein paar Klammern übersehen. In diesem Fall ist der Satz eine Tautologie.

Question 8

Ok, heißt dass dann, dass die Aussage vereinfacht so aussieht?:

¬∃x∈X: ¬A(x)∧(¬(B(x)⇒B(x))∨(¬A(x)⇒A(x)))

⇒
¬∃x∈X: ¬A(x)∧(¬A(x)⇒A(x))

⇒

¬∃x∈X: ¬A(x)∧A(x)

Question 9

¬∃x∈X: ¬A(x)∧A(x) kann man noch weiter vereinfachen

Question 10

$$∀x∈X: A(x) $$

richtig?

Question 11

Ich meine natürlich:

$$ ∀x∈X:¬A(x)∨A(x)$$

Question 12

Wähle einen Warheitswert (wahr oder falsch) für A(x), so dass ¬A(x)∧A(x) wahr ist

¬A(x)∧A(x)

Question 13

Aber ¬A(x)∧A(x) würde dann doch nicht wahr und wahr bedeuten, oder?

Question 14

¬A(x)∧A(x) ist unerfüllbar: egal welchen Wahrheitswert A(x) hat, ¬A(x)∧A(x) hat immer den Wahrheitswert falsch.

Question 15

Lautet dass Ergebnis dann, ∀x∈X: immer wahr? Da es ja kein x∈X gibt, wofür es falsch ist.

Question 16

¬A(x)∧A(x) ist falsch.

Also ist ∃x ¬A(x)∧A(x) falsch.

Also ist ¬∃x ¬A(x)∧A(x) wahr.

Question 17

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