Berechnen Sie die folgenden Summen und Produkte

Question

(1^k +2)(2^k +2)(3^k +2)(4^k +2)=?

Meine frage ist: Was ist z.b 2^k mal 4^k ?

Answer 1

1^k * 2^k = (1 *2)^k = 2^k

Comments

danke und 2 mal 4^k = 8^k ?

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2 mal 4^k ist 2 mal 4 mal 4 mal ... mal 4

         8^k ist           8 mal 8 mal ... mal 8

Sieht nicht so aus als ob das unabhängig von k das selbe ist.

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Leider nicht.

2 * 4^k = 2 * (2^2)^k = 2 * 2^{2k} = 2^{2k+1}

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2*1^k = 2*(2⁰ )^k =2*1=2?

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Genau

2*1^k = 2*(2^0)^k = 2*2^{0*k} = 2*2^0 = 2*1 = 2

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Ich habe nun die ersten beiden Klammern ausmultipliziert und folgendes raus: 2^k +2+2^k+1 +4 muss ich das nun mit den letzten beiden Klammern mal nehmen also: (2^k +2+2^k+1 +4)(3^k +2)(4^k +2) rechnen? Stehe grad auf dem Schlauch irgendwie ugh

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Würde ich vorschlagen. Vorher aber so weit wie möglich zusammen fassen. 2+4 ist zum Beispiel 6.

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Also darf ich jetzt die beiden klammern (3^k +2)(4^k +2) ausmultiplizieren, das Ergebnis in klammern setzen und dann mal das andere Ergebnis und ausmultplizieren? Also (2^k +2^k+1 +6)(Ergebnis aus den letzten beiden Klammern) ist das erlaubt?

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Ja das kannst du so machen.

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Wie rechnet man 2*3^k =?

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Da gibt's nichts zu rechnen. Das bleibt 2*3^k.

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Ist diese Rechnung richtig? 2^k mal 2*3^k = 2^k+1 +6^k?

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Und kann man folgendes ausrechnen: 2^k mal 2^2k+1 ?

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2^k mal 2*3^k = 2 * 6^k

2^k mal 2^{2k+1} = 2^{4k+1}

Irgendwie habe ich mal versucht das alles auszumultiplizieren und es kommt nichts vernünftiges dabei heraus. Vielleicht gibt es ja irgendwie einen Trick oder eine Formel. Mir fällt leider nicht mehr dazu ein.