Umkehrfunktion wo ist der Fehler?

Question

Hallo ich habe diese Funktion gegeben:

F(x) = x²-6x+10

Den Scheitelpunkt habe ich ausgerechnet SP (3/1)

Habe meine Definition dann festgelegt: [3;unendlich]

dann die Formel umgestellt:

0= x²-6x+10-y

Mitternachtsformel --> 0=6±√36-40-y / 2

   Dann die Werte getauscht: y= 6±√36-40x / 2

Dann (-1) eingesetzt und geteilt:    y=3±√18-20(-1=

Ergebnis: y=3±√2(-1)

also doch F-1(x) = 3±√2-x

Ne denkste ^^ in Wirklichkeit lautet die Umkehrung F-1(x) = 3±√x-1 

Wo liegt mein Fehler? :=(

Answer 1

1. Fehler ist die eckige Klammer nach innen bei unendlich.

2. Fehler: In der Mitternachtsformel muss vor das $y$ der Faktor 4 (und ein anderes Vorzeichen) noch stehen.

Und warum hast du -1 eingesetzt? Gehörte das zur Aufgabe?

Gruß

Comments

Ich hab minus 1 eingesetzt für x um zu wissen ob es sich bei der funktion um den gleichen Wertebereich handelt bzw. wollte das damit herausfinden ob der Wertebereich stimmt. Ahja und um den negativen wert von -4 unter der wurzel wegzu bekommen ^^

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Falls dir dein Fehler noch nicht aufgefallen ist:

Korrekt angewendet hättest du:

$$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 40 +4y}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4y-4}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{y-1}}{2} = 3 \pm \sqrt{y-1}$$

Daraus hättest du dann schließen können, dass in deinem festgelegten Bereich, die Umkehrfunktion:

$$f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x-1}$$

gilt.

Das Plusminus hat in einer Funktion nichts zu suchen.

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Ich kann eigentlich alles nachvollziehen nur das mit den 4y nicht. Wo kommen die den Jetzt her? 

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Weil bei dieser quadratischen Gleichung $a= 1$ und $c = 10 -y$ ist.

Deswegen ist $4ac = 4(10-y) =40-4y$.

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OMG jetzt macht das sinn -.- dank dir VERDAMMMMMMT.

Answer 2

y = x²-6x+10

ich tausche immer zu Anfang

x = y² - 6y + 10
y² - 6y + 10 = x
y² - 6y + 3² = x - 10 + 9
( y - 3)² = x - 1
y - 3 = ± √ ( x - 1)
y =  ± √ ( x - 1 ) + 3

Comments

Wo kommt den die 3 im quadrat her?

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Ich habe die Gleichung mit der quadratischen Ergänzung gelöst.

y² - 6y + 10 = x
y² - 6y + 3³ - 3² + 10 = x
( y - 3 )² -1 = x

Man kann auch die pq-Formel nehmen.

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Dir dank ich auch, sieht auch eigentlich einfacher aus, aber jetzt behalt ich erstmal das mit der Mitternachtsformel im kopf (naja zumindest hoff ich das). :D

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Gern geschehen.

Die quadratsiche Ergänzung wird z.B. auch bei der
Umformung in die Scheitelpunktform gebraucht.