Beweis mit Äquivalzenzumformung (x*y)^0.5 <= (x+y)/2

Question

Ich habe eine Aufgabe, mit (x*y)^0.5 <= (x+y)/2

Diese Formel soll ich mit einer Äquivalenzumforung beweisen.

Würde ich anfangs direkt potenzieren, so würde das doch nicht mehr Äquivalent sein, da -2^2 auch 4 ist und nicht nur 2^2

Könnt ihr mir da helfen?

Comments

Das stimmt nicht. Z.B. für \(x=y=-1\) ist \((x\cdot y)^{0.5}=1\) und \(\frac{x+y}2=-1\).

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Die Ungleichung gilt doch offensichtlich nur für nicht negative Zahlen, womit das quadrieren doch kein Problem mehr ist.

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nein, hier steht da x,y >=0 sind. also müsste das was rauskommen. die aufgabenstellung sagt aus das wir es mit äquivalenzumformung machen sollen. und sogar herausfinden können für welche x,y = ? gilt

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Gleichheit  gilt nur für x=y, aber auf welchen Kommentar bezieht sich dein nein? Auf nicks?

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ja genau auf nicks.

Ich bin noch nicht richtig weiter gekommen :P

Weißt du vielleicht wie man das durch Äquivalenzumforung umformen kann?

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Falls das in meinem Kommentar nicht deutlich geworden ist: Wegen der Voraussetzung für \(x\) und \(y\) ist das Quadrieren beider Seiten eine Äquivalenzumformung.

Answer 1

Damit die "offene Frage" erledigt ist:

Es gilt für  x,y  ∈ ℝ:

(x-y)² ≥ 0

⇔ x² - 2xy + y²  ≥ 0   | + 4xy

⇔ x² + 2xy + y² ≥ 4xy

⇔ (x+y)² ≥  4xy 

Für x,y ∈ ℝ, gleiches Vorzeichen:

⇔ | x+y | ≥ 2 • √(xy)

⇔   \(\frac{x+y}{2}\)  ≥ √(xy)  oder   \(\frac{x+y}{2}\)  ≤ - √(xy)

Für x,y ∈ ℝ₀⁺:

⇔   \(\frac{x+y}{2}\)  ≥ √(xy)  

Answer 2

Es ist zwar schon alles gesagt worden aber nochmals die
Überlegungen in aller Kürze
( Gilt zunächst falls x ≠ 0, y ≠ 0 )

√ (x*y) <= (x+y)/2 

Der Term in einer Wurzel muß positiv sein. Also
x und y sind beide positiv
oder
x und y sind beide negativ
Der Wurzelwert ist stets positiv.

Sind x und y negativ stimmt die Ungleichung
nicht da auf der rechten Seite ein negativer Wert stehen würde
und auf der linken Seite ein positiver Wert.

Sind x und y positiv ist das Quadrieren eine Äquivalenzumformung
Also
x*y ≤ [ ( x + y ) / 2 ]^2
x*y ≤ ( x + y )^2  / 4
4xy ≤ x^2 + 2xy + y^2
0 ≤ x^2 - 2xy + y^2
0 ≤ ( x - y )^2
Quadrate sind stets positiv oder 0. Also stimmt die Ungleichung
für Werte in ℝ⁺

Falls x = 0 oder y = 0 oder beide 0 sind  stimmt die
Ausgangsungleichung auch wie sich durch einfaches
Einsetzen  schnell nachweisen läßt.

Die Ungleichung gilt In iℝ₀⁺

Answer 3

Wurzel(xy) ≤ (x +y)/2

2*Wurzel(xy) ≤ x +y

x + y - 2*Wurzel(xy) ≥ 0  

( wurzel(y) - wurzel(x) )^2  ≥ 0  

und Quadrate sind immer größer gleich 0.

Comments

Danke für deine Hilfe :) Ich versteh aber nicht so ganz den Sinn dahinter, denn muss ich eigentlich nicht beweisen dass 2*Wurzel(xy) ≤ x +y gilt, also dass es größer oder gleich ist ? Und nicht beweisen dass es größer als Null ist ?

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2*Wurzel(xy) ≤ x +y  das kannst du doch umformen indem du 2*wurzel.. auf die andere

Seite bringst

0  ≤ x +y  - 2*Wurzel(xy)

und andersherum gelesen heißt das doch größer oder gleich 0.