Ungleichung mit Betrag. Bestimmen Sie die Lösungsmenge im R. | x-1 | ( x - 4) ≤ 0

Question

Bestimmen Sie die Lösungsmenge im R. Stellen Sie jeweils die linke und rechte Seite der ungleichung grafisch dar und zeichnen Sie die Lösungsmenge ein

Ich habe mal wieder eine Frage. Die Aufgabe lautet wie folgt :

| x-1 | ( x - 4) ≤ 0   

ich habe dann folgendes gemacht :

x² +4x -x -4 ≤ 0

x² +3x -4 ≤ 0 

Dann die quadratische ergänzung. Da kam ich dann auf   x ≤ 0.5   und x ≥ -4

Ich bin mir aber nicht sicher ob ich nicht direkt am Anfang einen fehler gemacht habe, oder etwas vergessen habe.  Habe noch nicht so die Übung mit solchen Aufgaben. Aber ist gerade in der Arbeit. Wäre echt super wenn mir jemand helfen könnte .

Ach ja , das Grafisch darstellen. Verstehe ich das richtig und man muss einen Zahlenstrahl zeichen von -4 bis 1 zb . und dann einen strich darüber zeichnen welcher von -4 bis 0.5 geht ??

Comments

kleiner fehler,, nicht x = 0.5 sondern x = 1

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Die grafische Darstellung

~plot~ abs( x-1 ) * ( x - 4) ; 0 ;[[ -2 | 6 | -7 | 7 ]]  ~plot~

Answer 1

| x-1 | ( x - 4) ≤ 0

1. Fall: Ungleichung:

| x-1 | ( x - 4) < 0

Ein Produkt ist kleiner als 0, wenn ein Faktor kleiner als 0 und der andere grösser als 0 ist.

Nur der 2. Faktor kann überhaupt negativ sein.

Daher x < 4 und x≠1.

2. Fall: Gleichung:

| x-1 | ( x - 4) = 0

Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0  ist.

Daher x = 4 oder  x= 1.

zusammen:

L = {x | x ≤ 4} 

Comments

Aber x darf nicht kleiner 0 sein ne. also ist die Lösungsmenge von 0 bis 4 oder?

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bzw. darf noch net mal 0 sein

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Wer sagt, dass x nicht kleiner als 0 sein darf?

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also lösungsmenge von 1,1 bis 4

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ja wenn x 0 ist zb, dann ist das ergebnis doch größer null oder

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Annahme x=0

| 0-1 | ( 0 - 4) = |-1| *(-4) = 1 *(-4) = -4  ≤ 0   

passt doch wunderbar (?) 

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Achso, ok ich verstehe. Und jetzt zum thema lösungsmenge grafisch darstellen. Wie geh ich da vor ???

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Markiere alles links von x=4 inklusive x=4.

Auf der reellen Achse sieht das aus wie hier auf der "number line"

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7C+x-1+%7C+%28+x+-+4%29+≤+0