Ungleichung mit Wurzel und Betrag: √(2x-4) ≤ | 6-x|

Question

Hallo. Könnte jemand mir helfen ? Ich habe schon die Antwort. Aber da habe ich Verwirrung.

Danke sehr

Answer 1

Bei Seiten quadrieren:

D= [2;+oo]

2x-4<=(6-x)^2

2x-4<= 36-12x+x^2

x^2-14x+40>=0

(x-4)(x-10)>=0

Den Rest überlasse ich dir.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%282x-4%29^0.5%3C%3D|6-x|

Answer 2

falls das in der Überschrift eine Betragsgleichung sein soll:

| 2·x - 4 |  ≤ | 6 - x |    |²

(2x - 4)² ≤ (6 - x)²

4x² - 16x + 16 ≤ 36 -12x + x²

3x² - 4x - 20  ≤  0

zugehörige Gleichung:

3x² - 4x - 20 = 0

ax² + bx + c = 0

abc-Formel:  a = 3, b = -4, c = -20

x_1,2 = ( -b ± \(\sqrt[]{b^2-4ac}\)) / (2a)

x_1,2 = ( 4 ± \(\sqrt[]{16+240}\)) / 6

x_1,2 = ( 4 ± 16) / 6 

x₁ = 10/3,  x₂ =  -2

Da der Parabelterm eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, liegen die negativen Werte zwischen beiden Nullstellen:

L = [ -2 : 10/3 ]

Gruß Wolfgang

Answer 3

Die Antwort von Wolfgang geht nicht von der gestellten Aufgabe aus. Die Antwort von Gast 2016 endet (bis dahin zutreffend) bei (x-4)(x-10) ≥ 0. Ein Produkt ist ≥ Null, wenn beide Faktoren ≥ 0 sind oder wenn beide Faktoren ≤ 0 sind. Also:

((x - 4) ≥ 0 ∧ (x-10) ≥ 0) ∨ ((x-4) ≤ 0 ∧ (x - 10) ≤ 0)

(  x ≥ 4         ∧     x ≥ 10 ) ∨ (   x ≤ 4     ∧         x ≤ 10)

            x  ≥ 10                   ∨                x ≤ 4

Comments

Schau mal den von Gast2016 verlinkten Graphen genau an.

Ausserdem steht dort: D= [2;+oo] 

Da siehst du, dass du noch nicht ganz fertig bist.

Wenn man es fertig bringt die Graphen adäquat zu skizzieren, braucht man nur noch die Schnittstellen zu berechnen und dann zu schauen, in welchen Bereichen der blaue Graph unter dem roten liegt.

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Lu, vielleicht zielt dein Kommentar ja gar nicht auf meine Antwort. Wenn doch, behaupte ich, dass ich mit weniger Aufwand das gleiche Ergebnis erziele.

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Einziger Zweck meines Kommentars war:  Sollte deine letzte Zeile die Lösungsmenge bezeichnen, ist sie falsch.  

"   x  ≥ 10                   ∨                x ≤ 4  "

Lese ich als deine Lösungsmenge. Wenn du das anders gemeint hast, ist alles ok. 

L = { x € R | 2≤x≤4 oder x≥ 10} 

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Meine letzte Zeile ist nicht meine Lösungsmenge, sondern ein Anlass, die Lösungsmenge zu bestimmen.