Eigenschaften eines Teilraums pruefen

Question

Zu zeigen ist, dass es zu jedem Teilraum U vo R^2 mit U ungleich R^2 eine Spalte c in R^2 gibt , sodass U = {a*c | a in R}
Mit anderen Worten : Jeder Teilraum wie oben angegeben hat also einen Vektor , der mit a in R multipliziert diesen Teilraum ergibt . 
Das triviale Beispiel mit U = {(0 0)} ist klar .
Wie löse ich die Aufgabe für U ungleich {(0 0)} ?

Answer 1

>   zu jedem Teilraum U vo R² mit U ungleich R² [gibt es] eine Spalte c in R²gibt , so dass  

<   U = < {a*c | a in R} 

Man kann dies sehr allgemein begründen:

ℝ² mit den Standardverknüpfungen ist ein Vekorraum der Dimension 2.

Jeder Unterraum U ≠ ℝ² hat die Dimension 1 oder 0.

Im Fall dim(U)=0 [⇔ U = {} ist die Behauptung trivialerweise erfüllt.

Im eindimensionalen Fall U ⊂ ℝ²   bildet für jedes Element

b :=  \( \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}\) ≠ \( \begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}\)  {b} eine Basis von  U, 

deren lineare Hülle { α•b | α ∈ℝ}  den Unterraum U darstellt.

Gruß Wolfgang