Zeigen, dass die Aussagen äquivalent sind: (1) α ist injektiv, (2) α ist surjektiv auf A

Question

Sei α∶A → A eine Abbildung von einer endlichen Menge A in sich. Wie zeige ich, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: 

(1) α ist injektiv,

(2) α ist surjektiv auf A

In der Aufgabe steht das, dass ich Abbildungen von N in sich angeben muss, die zeigen, dass sich keine der beiden Implikationen für unendliche Mengen ‘retten’ läßt. 

Comments

                <p><strong>Vom Duplikat:</strong></p>
                <p>Titel: Sei alpha ∶ A → A eine Abbildung von einer endlichen Menge A in sich.</p>
                <p>Stichworte: abbildung,injektiv,surjektiv</p>
            Wie kann ich zeigen das die Aussagen äquivalent sind 1) α ist injektiv , 2) α ist surjektiv auf A

Wenn α : A-->A eine Abbildung von einer endlichen Menge A

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass die fogenden Aussagen äquivalent sind: (1) α ist injektiv, (2) α ist surjektiv auf A.

Stichworte: beweis,injektiv,surjektiv

 

Ja, diese Aufgabe wurde tatsächlich so gestellt ^^. Vielleicht kann ja jemand etwas damit anfangen.

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eine ähnliche Frage führt vielleicht zur Klärung der Gedankengänge:

https://www.mathelounge.de/58729/sei-alpha-a-eine-abbildung-von-einer-endlichen-menge-in-sich

MfG

Mister

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Vom Duplikat:

Titel: Lineare Algebra Aufgabe 3.1) Alpha auf Injektiv, surjektiv auf A

Stichworte: injektiv,surjektiv,abbildung,unendlich,natürliche,zahlen

 Sei Alpha:A-> A eine Abbildung von einer endlichen Menge A in sich. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: 

(1) Alpha ist injektiv

(2) Alpha ist surjektiv auf A

Geben Sie Abbildungen von N in sich an, dass sich keine der beiden Implikationen für unendliche Mengen 'retten' lässt.

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EDIT: Es gibt wohl von dieser Frage noch eine Version mit Text und Bild. Bitte Link dorthin angeben, wenn ihr über die andere Frage stolpert.

EDIT: Fragliche Frage gefunden und umgeleitet.

EDIT: Habe die alte (gekürzte Version) der Frage hierhin umgeleitet, damit man das nicht nochmals zeigen muss.

Answer 1

auf einer endlichen Menge A sei die Abbildung α auf A abbildend und injektiv. A habe die Mächtigkeit n. Aus a ≠ b folgt vermittels der Injektivität α(a) ≠ α(b). Das heißt den n paarweise verschiedenen Elementen im Urbildbereich werden n paarweise verschiedene Elemente im Bildbereich zugeordnet.

Da der Bildbereich, da er a A ist, aber die Kardinalität n hat, ist α surjektiv.

Sei die Abbildung α auf der anderen Seite surjektiv auf die Menge A abbildend. Dann gibt es wegen |A| = n im Urbildraum wenigstens n paarweise verschiedene Elemente, durch die nach A abgebildet wird. Da der Urbildraum nun aber A ist, gibt es höchstens n paarweise verschiedene Elemente, durch die vermittels α auf paarweise verschiedene Elemente in A abgebildet wird.

Das heißt es gibt genau n paarweise verschiedene Elemente im Urbildraum A, die auf n paarweise verschiedene Elemente in A abbilden. Das heißt, α ist injektiv.

MfG

Mister