Parabel 3. Ordnung: Punktsymmetrisch zu 0 (0/0) und gleiche Nullstellen wie f(x)=1/8 (x^2-4x)

Question

Hi,

habe bei folgender Aufgabe Probleme auf die gesuchte Parabel zu kommen.

Gegeben und gezeichnet ist die Parabel: 1/8 (x²-4x)

"Eine Parabel 3. Ordnung ist punktsymmetrisch zu 0 (0/0) und schneidet das gezeichnete Schaubild zweimal auf der X-Achse. Die beiden Kurven stehen im Ursprung senkrecht aufeinander. Bestimme die Gleichung der Parabel 3. Ordnung, untersuche sie und zeichne ihr Schaubild, berechne außerdem den Flächeninhalt, der von beiden Kurven eingeschlossen wird."

Meine Rechnung:

f(x) = 1/8 (x²-4x)

Schnittpunkte mit der X-Achse:

x1 = 4, x2 = 0

f'(x) = 1/8(2x-4)

f'(0) = -1/2

Negativer Kehrwert: -1/(-1/2) = 2

Steigung der gesuchten Parabel: 2

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Soweit bin ich gekommen, ich weiß jetzt leider nicht, wie ich die Parabel genau bestimme.

Gruß

Answer 1

f(x) = 1/8·(x^2 - 4·x) = 1/8·x^2 - 1/2·x = 1/8·x·(x - 4)

Also Nullstellen sind 0 und 4 und die Muss unsere Funktion dritten Grades auch haben. Durch die Symmetrie auch noch eine bei -3. Wir vermuten also einen Funktionsterm
g(x) = a·x·(x + 4)·(x - 4) = a·x·(x^2 - 16) = a·x^3 - 16·a·x

Die Steigung im Koordinatenursprung ist bei Polynomen der Wert vor x. Also bei f -1/2. Bei g sollten wir eine Senkrechte Steigung von +2 haben. Also

- 16·a = 2
a = - 1/8

Damit habe ich
g(x) = - 1/8·x^3 + 2·x

Schaffst du den Rest alleine?

Comments

Ich muss sagen, dass ich diese Zeile

 

g(x) = a·x·(x + 4)·(x - 4) = a·x·(x² - 16) = a·x³ - 16·a·x

 

gänzlich nicht verstehe.

Warum z. B. setzt du die 4 ein, obwohl die 4 ein x-Wert ist und lässt gleichzeitig x-Werte stehen.

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Hat die gesuchte Prabel dann nicht eher noch eine Nullstelle bei -4, da sie ja symmetrisch ist. Wieso -3?

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Okay, hab die Aufgabe soweit verstanden, das einzige Problem, das ich noch habe, ist, dass ich nicht verstehe wie du von - 16·a = 2 auf a = -1/8 kommst.

-16a = 2      / :2
-1/8a=1

oder?!

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Hi,

ich beantworte mal stellvertretend für Mathecoach.

-16a = 2

Nun willst Du nach a auflösen. Also a soll alleine stehen -> :(-16)

a = 2/(-16)

a = 1/(-8) = -1/8

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Okay, vielen Dank. Ich habe einen Flächeninhalt von 2521/96 errechnet. Stimmt das?


G

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Yup sehr gut, dass kann ich bestätigen.

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Super, dann danke ich dir und Mathecoach. )