Geschlossene Formeln für die Summe von ((2k^2(k+1)-5)/(k(k+1)) angeben?

Question

Ich habe leider extreme Probleme diese Aufgabe zu verstehen. Könntet ihr mir vielleicht helfen?

Aufgabe:

Geben Sie bitte eine geschlossene Summenformel für

$$ \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{2 k^{2}(k+1)-5}{k(k+1)} $$
an!

Answer 1

((2k^2(k+1)-5)/(k(k+1))

= ((2k^2(k+1))/(k(k+1)) - (5)/(k(k+1))

= 2k - 5/(k(k+1))

Nun kannst du das Summenzeichen aufteilen und hast am Anfang eine arithmetische Reihe und musst von der eine Teleskopsumme subtrahieren.

Zu "arithmetische Reihe" und "Teleskopsumme" kannst du falls nötig über die Suche Beispiele finden.

Comments

Ich habe das selbe Problem. Den geschriebenen Weg konnte ich nachvollziehen, aber ich weiß nicht, wie ich 5/(k(k+1)) weiter umformen kann.

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5 kannst du vor das Summenzeichen schreiben und dann die Zerlegung in Partialbrüche hier:

https://www.mathelounge.de/85708/konvergenz-und-grenzwert-bestimmen-von-teleskopsumme-∑1-1

verwenden.

Answer 2

ich wiederhole gerade die Aufgabe da ich noch nicht richtig verstehe wie das mit der Summenformel funktioniert. In zwischen wurde auch eine Musterlösung hoch geladen. So weit verstehe ich auch die meisten Schritte. Jedoch hapert es bei mir bei den einfügen der gausschen Summenformel in die Summe. ich habe beides rot und blau markiert. Oben ist die Musterlösung zu sehen und unten sind meine Überlegungen. Aber es stimmt einfach nicht.

Rechnungen habe ich angehängt.

Dennis Köhler

Ps: Ich hoffe es ist ok, dass ich da kein extra Thread aufmache weil meine Überlegungen auf der Fragestellung meines Kamilitonen aufbauen.

Comments

Hi,
Klar ist es gut zu einer bestehenden Frage keinen neuen Thread zu erstellen. Nicht so gut ist es allerdings, die Frage als Antwort zu schreiben (besser als Kommentar unter die Frage).
Zu deinen Berechnungen:
Die zweite Summe hat nix mit Gauß zu tun, deswegen kommt bei dir unten im Blatt auch nicht das raus, was gesucht ist.
Es ist
$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} $$
Gruß