die Variable e soll für die Eigenwerte der Matrix A stehen.
Die Eigenwerte von A, sind die Zahlen, die die Gleichung A • \(\vec{x}\) = e • \(\vec{x}\) erfüllen.
Du erhältst eine Matrix C, indem du e von allen Elementen der Hauptdiagonalen von A subtrahierst.
( in deinem Beispiel steht dann in der Hauptdiagonalen überall -a )
Die Determinante von C ergibt dann ein Polynom mit der Variablen e, das sogenannte "charakteristische Polynom" von A.
In deinem Beispiel ergibt sich e4 - 4e2 = e2 • (e-2) • (e+2)
Die Nullstellen dieses Polynoms sind die Eigenwerte von A mit den entsprechenden Vielfachheiten.
In deinem Beispiel ergeben sich e1 = 0 ; e2 = 2 ; e3 = -2
Für jeden einzelnen Eigenwert erhältst du die Eigenvektoren \(\vec{v_k}\) jeweils
als Lösung der Gleichung C • \(\vec{x}\) = \(\vec{0}\)
In deinem Beispiel (mit a,b ∈ℝ):
e1 = 0: \(\vec{v_k}\) = (a,b,a,b)T [ (a,b) ≠ (0,0) ]
e2 = 2: \(\vec{v_k}\) = (a,a,a,a)T [ a ≠ 0 ]
e3 = -2: \(\vec{v_k}\) = (-a,a,-a,a)T [ a ≠ 0 ]
Gruß Wolfgang
