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Gegeben ist die Matrix A.

           2/3     1/3    -2/3

A =  (  -2/3    2/3    -1/3  )

            1/3    2/3    2/3

a) Zeigen Sie, dass A eine Drehmatrix R^3 ist

b) Wie lautet die Matrix für die inverse Operation?

c) Bestimmen Sie die Drehachse und den Cosinus des Drehwinkels

von

1 Antwort

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Es ist A * (0;0;0) = (0;0;0) also ist 0 ein Fixpunkt und wenn es eine

Drehung ist, geht die Drehachse durch 0.

Jetzt kannst du doch einfach mal propieren

A*(1;0;0) gibt (2/3 ; -2/3 ;1/3 )

A* (2/3 ; -2/3 ;1/3) = (0;-1;0)

A* (0;1;-1) = ...

etc. nach der 6. Anwendung bist du wieder bei (1;0;0)

zwischendurch erscheint auch (0;0;-1) .

Also bewegen sich durch die Drehung die Punkte in der Ebene

durch (1;0;0) und (0;-1;0)und (0;0;-1) .

Die hat die Gleichung  x -y - z = 1

und also einen Normalenvektor (1;-1;-1) .

Das muss ja dann wohl die Richtung der Drehachse sein.

Und weil man nach 6-maliger Anwendung wieder beim Ausgangspunkt ist,

muss der Drehwinkel 60° sein.  Wie gesagt alles unter der

Vorausetzung, dass es wirklich eine Drehung ist.

Wenn es eine ist, dann jedenfalls die mit der Drehachse

g:  x = t* (1;-1;-1)    und dem Drehwinkel 60° .

Ist also nun P(a;b;c) irgendein Punkt aus R^3 , dann muss man zeigen.

A * P gibt einen Punkt P ' und wenn L der Lotfußpunkt von P auf

die Gerade g ist, dann muss gelten | LP|  =| LP ' | und der Winkel, den

die beiden Vektoren LP und  LP ' bilden ist 60°.

L ist Schnittpunkt der Ebene durch P mit Normalenvektor (1;-1;-1)

und der Geraden g.  Also

x - y - z = a-b-c   geschnitten mit      x = t* (1;-1;-1)

t + t + t = a-b-c 

3t = a-b-c           also t= ( a-b-c ) / 3

Damit L = (   ( a-b-c ) / 3   ;  (- a +b  + c ) / 3 ;  (- a +b  + c ) / 3 )

Damit ist der Vektor LP =(1/3)* (  2a+b+c ; a+2b-c; a-b+2c)

Und P ' ist ja A * P = (1/3)*(2a+b-2c; -2a+2b-c ; a+2b+2c)

also LP ' ist dann (1/3)*(a+2b-c ; -a+b-2c ; 2a + b + c  )

Jetzt die Längen vergleichen

| L P ' |^2   = Skalarprodukt von L P ' mit sich

                  = (2/9)*(a^2 +ab +ac +b^2 - bc +c^2 )

und  | L P  |^2    tatsächlich das gleiche.

Für den Winkel nimmt man wohl

cos(alpha) =  ( LP * LP ' ) /  (  | L P |* | L P' | )

= (   (1/9)* (a^2 +ab +ac +b^2 - bc +c^2 ) / (   (2/9)*(a^2 +ab +ac +b^2 - bc +c^2 )  )

=  1/2   also - wie erwartet -        = cos(60°).

von 257 k 🚀

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