Es ist A * (0;0;0) = (0;0;0) also ist 0 ein Fixpunkt und wenn es eine
Drehung ist, geht die Drehachse durch 0.
Jetzt kannst du doch einfach mal propieren
A*(1;0;0) gibt (2/3 ; -2/3 ;1/3 )
A* (2/3 ; -2/3 ;1/3) = (0;-1;0)
A* (0;1;-1) = ...
etc. nach der 6. Anwendung bist du wieder bei (1;0;0)
zwischendurch erscheint auch (0;0;-1) .
Also bewegen sich durch die Drehung die Punkte in der Ebene
durch (1;0;0) und (0;-1;0)und (0;0;-1) .
Die hat die Gleichung x -y - z = 1
und also einen Normalenvektor (1;-1;-1) .
Das muss ja dann wohl die Richtung der Drehachse sein.
Und weil man nach 6-maliger Anwendung wieder beim Ausgangspunkt ist,
muss der Drehwinkel 60° sein. Wie gesagt alles unter der
Vorausetzung, dass es wirklich eine Drehung ist.
Wenn es eine ist, dann jedenfalls die mit der Drehachse
g: x = t* (1;-1;-1) und dem Drehwinkel 60° .
Ist also nun P(a;b;c) irgendein Punkt aus R^3 , dann muss man zeigen.
A * P gibt einen Punkt P ' und wenn L der Lotfußpunkt von P auf
die Gerade g ist, dann muss gelten | LP| =| LP ' | und der Winkel, den
die beiden Vektoren LP und LP ' bilden ist 60°.
L ist Schnittpunkt der Ebene durch P mit Normalenvektor (1;-1;-1)
und der Geraden g. Also
x - y - z = a-b-c geschnitten mit x = t* (1;-1;-1)
t + t + t = a-b-c
3t = a-b-c also t= ( a-b-c ) / 3
Damit L = ( ( a-b-c ) / 3 ; (- a +b + c ) / 3 ; (- a +b + c ) / 3 )
Damit ist der Vektor LP =(1/3)* ( 2a+b+c ; a+2b-c; a-b+2c)
Und P ' ist ja A * P = (1/3)*(2a+b-2c; -2a+2b-c ; a+2b+2c)
also LP ' ist dann (1/3)*(a+2b-c ; -a+b-2c ; 2a + b + c )
Jetzt die Längen vergleichen
| L P ' |^2 = Skalarprodukt von L P ' mit sich
= (2/9)*(a^2 +ab +ac +b^2 - bc +c^2 )
und | L P |^2 tatsächlich das gleiche.
Für den Winkel nimmt man wohl
cos(alpha) = ( LP * LP ' ) / ( | L P |* | L P' | )
= ( (1/9)* (a^2 +ab +ac +b^2 - bc +c^2 ) / ( (2/9)*(a^2 +ab +ac +b^2 - bc +c^2 ) )
= 1/2 also - wie erwartet - = cos(60°).
