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Hallo, meine Frage ist folgende.

Ich soll die Drehachse, Drehebene, Drehwinkel sowie die Normalform A von Φ bestimmen.

Außerdem auch die Orthonormalbasis, bezüglich der Φ die Abbildungsmatrix A hat.

Gegeben ist:

Es sei Φ : R3 → R3 eine lineare Isometrie (bezüglich dem Standardskalarprodukt) mit det(Φ) = 1

Weiter gelte
\( \Phi\left(\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \Phi\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right) \)



Das Problem ist ich weiß gar nicht wie ich das bestimmen soll, da ich ja gar keine richtige Matrix gegeben habe. Kann mir das vielleicht jemand erklären?

vor von

Sicher, dass \( \Phi\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right) \) so stimmt, oder könnte es auch so sein:

\( \Phi\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right) \)

... oder könnte es auch so sein:

da gibt's keinen Grund für. Drechachse \(\vec a\) ist$$\vec a=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$Der Drehwinkel ist 60° und \(A\) ist$$A= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2& -1& 2 \\ 2& 2& -1\\ -1& 2& 2 \end{pmatrix}$$

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Aloha :)

1) Bestimmung der Drehachse \(\vec n\)

Wir bestimmen zuerst die Drehachse \(\vec n\). Ein Vektor \(\vec x\) zeige vom Ursprung aus auf den zu drehenden Punkt. \(\vec x'\) sei dieser Vektor nach der Drehung. Den Vektor \(\vec x\) kannst du in einen Anteil parallel und einen Anteil senkrecht zur Drehachse \(\vec n\) zerlegen:$$\vec x=\vec x_\parallel+\vec x_\perp\quad;\quad \vec x_\parallel=\left(\,\vec n\cdot\vec x\,\right)\cdot\vec n\quad;\quad\vec x_\perp=\vec x-\vec x_\parallel$$

Der parallele Anteil \(\vec x_\parallel\) bleibt bei der Drehung ungeändert.$$\vec x'=\vec x_\parallel+\vec x'_\perp\quad;\quad \vec x'_\parallel=\vec x_\parallel$$Die Differenz von gedrehtem Vektor und ungedrehtem Vektor liefert uns also einen Differenzvektor, der orthogonal zur Drehachse steht:$$\vec x'-\vec x=(\vec x_\parallel+\vec x'_\perp)-(\vec x_\parallel-\vec x_\perp)=\vec x'_\perp-\vec x_\perp\;\perp\;\vec n$$

Wir haben hier 2 konkrete Drehungen gegeben und können daraus zwei Vektoren bestimmen, die orthogonal zur Drehachse \(\vec n\) stehen:$$\vec v_\perp=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec w_\perp=\begin{pmatrix}\frac13\\[1ex]\frac43\\[1ex]\frac13\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac23\\[1ex]\frac13\\[1ex]\frac13\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}$$

Die Drehachse steht orthogonal zu beiden und ist normiert auf die Länge \(1\):$$\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\quad\implies\quad\vec n=\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$

Diese Drehachse ist der Normalenvektor der Drehebene, die damit auch klar ist.

2) Bestimmung der Drehmatrix \(A\)

Wir wissen nun, wie die Drehmatrix \(A\) auf drei Vektoren wirkt:$$A\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad A\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac13\\[1ex]\frac43\\[1ex]\frac13\end{pmatrix}\quad;\quad A\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]\end{pmatrix}$$

Das fassen wir zu einer Matrix-Gleichung zusammen:$$A\begin{pmatrix}2 & 1 & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]0 & 1 & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]1 & 0 & \frac{1}{\sqrt3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & \frac13 & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]1 & \frac43 & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]0 & \frac13 & \frac{1}{\sqrt3}\end{pmatrix}$$und bestimmen daraus die Drehmatrix$$A=\begin{pmatrix}2 & \frac13 & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]1 & \frac43 & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]0 & \frac13 & \frac{1}{\sqrt3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1 & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]0 & 1 & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]1 & 0 & \frac{1}{\sqrt3}\end{pmatrix}^{-1}=\frac13\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 2\\2 & 2 & -1\\-1 & 2 & 2\end{array}\right)$$

3) Bestimmung des Drehwinkels \(\alpha\)

In (1) haben wir einen zur Drehachse orthogonalen Vektor \(\vec v_\perp=(0;1;-1)^T\) bestimmt. Wir bestimmen den Winkel \(\alpha\) zwischen ihm und seiner gedrehten Version:$$\cos\alpha=\frac{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\cdot A\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right\|\left\|A\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right\|}=\frac{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right\|\left\|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right\|}=\frac{1}{\sqrt2\,\sqrt2}=\frac12$$Der Drehwinkel ist also:\(\quad\alpha=\arccos(\frac12)=60^\circ\)

vor von 113 k 🚀

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