Nachweis, dass 0 kein multiplikativ inverses Element hat und zeige: (-a) x (-b)= a x b

Question

Aufgabe:

(a) Weisen Sie nach, dass die Null in \( (\mathbb{R},+,-) \) kein multiplikativ inverses Element besitzt.

(b) Weisen Sie nach, dass für alle \( a, b \in R \) gilt: \( (-a)-(-b)=a \cdot b \).

Answer 1

0·a = (0+0)·a = 0·a + 0·a aufgrund der Neutralität von 0 bei Addition und des Distributivgesetzes.

0·a = 0·a + 0·a ⇒ -(0·a) + 0·a = -(0·a) + 0·a + 0·a ⇒ 0 = 0·a wegen des Assoziativgesetzes und weil -(0·a) das additiv inverse Element von 0·a ist.

Ist i das mutiplikativ inverse Element von 0, dann ist 0·i = 1 im Widerspruch zum oben gezeigten 0·i = 0.