EIne gegebene Funktion als Potentialreihe darstellen.

Question

Hallo ich habe oben gegebene Aufgabe zu lösen. Ich würde gerne wissen wie man auf die gegebene Form der Potentialreihe kommt .?

Den Punkt für welche x kovergiert die Reihe dann, kann ich lösen in dem Ich das Konvergenzintervall bestimme.

Comments

In der Regel nennt man diese Art von Reihe eher Potenzreihe. Da solltest du z.B. bei Wikipedia fündig werden. 

Beginne vielleicht mal mit einer Polynomdivision 

(x^3 + 1) : ( x-2) 

Achtung: Ich habe den Nenner gedreht. Beim ganzen Resultat dann alle Vorzeichen ändern, damit du wieder f(x) hast. 

Nachher steht doch da, was du benutze darfst. 

Answer 1

rechne nach, dass gilt$$f(x)=\frac92\cdot\frac1{1-\frac x2}-4-2x-x^2.$$Für \(\vert x\vert<2\) gilt daher$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac92\cdot\left(\frac x2\right)^n-4-2x-x^2=\sum_{n=0}^\infty\frac9{2^{n+1}}x^n-4-2x-x^2$$$$\qquad=\frac12+\frac14x+\frac18x^2+\sum_{n=3}^\infty\frac9{2^{n+1}}x^n.$$

Comments

Hallo noch eine Frage , Bei der Grenzwert Berechnung muss ich da 1/2 +1/4*x +1/8*x^2 miteinbeziehen?

nein oder weil sie ja nicht von n abhängig sind oder?

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Die Aufgabe lautet, die Funktion \(f\) als Potenzreihe darzustellen. Grenzwerte sind hier nicht gefragt.