reflexiv: d.h. zu zeigen ist, dass jedes x aus X mit sich selbst in der Rel. steht.
Sei also x aus X.
Da die Vereinigung aller M aus M* gleich X ist, gibt es ein M aus M* , welches
x enthält, also x aus M und also auch (x aus M) und ( x aus M)
also x ~x.
symmetrisch: wenn x ∼ y
dann ∃M ∈ M* : x ∈ M ∧ y ∈ M also auch
y ∈ M ∧ x ∈ M also y ~x
transitiv: seien x ∼ y und y ∼ z dann
∃M1 ∈ M* : x ∈ M1 ∧ y ∈ M1 und ∃M2 ∈ M* : y ∈ M2 ∧ z ∈ M2
da alle M aus M* disjunkt sind , aber y ∈ M1 und y ∈ M2 ,
gilt also M1 = M2 also auch x ∈ M2 und z ∈ M2
also x ~ z.
Und die Klassen bestehen ja genau aus den Elementen, die
miteinander in der Relation stehen, und das sind eben die, die
in der gleichen Menge M aus der Partition liegen, also sind
die Elemente der Partition genau die Klassen der Rel.
