Endliche Körper, Vektorräume

Question

Bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter (es geht nur um die erste Aufgabe, also a und b):

Sei K ein endlicher Körper, d.h. ein Körper mit endlicher zugrunde liegender Menge K.

(a) Sei V ein Vektorraum über K. Zeigen Sie: V ist genau dann endlich dimensional, wenn V endlich ist. In diesem Fall gilt |V| = |K|^dim_KV.

Hinweis: Konstruieren Sie für endlich dimensionales V mit Hilfe einer Basis eine bijektive Abbildung von V nach K^dim_KV.

(b) Folgern Sie aus Aufgabenteil (a) sowie Aufgabe 14, dass es d ∈ N gibt mit |K|= Char(K)^d.

Bemerkung: Da (K,0_K,+_K ) eine endliche Gruppe ist, gibt es ein n ∈ N mit n_K = 0_K. Die Charakteristik Char(K) von K ist damit im Sinne von Aufgabe 14 (siehe unten) definiert.

Hab leider keinen Ansatz und erst recht keine Lösung. :/ Bin für jegliche Hilfe dankbar.

Aufgabe 14(muss nicht bearbeitet werden, zur Bearbeitung von der oberen Aufgabe nötig):

Sei K ein Körper.

(a) Sei L ein Unterkörper von K. Wir definieren

· : L × K → K,     (λ , x) → λ · x  :=  λ  ·_K  x

Zeigen Sie, dass (K,0_K, +_K,· ) Vektorraum über L ist.

Wir nehmen im Folgenden an, dass es ein n ∈ N gibt mit n_K = 0_K. Dann gibt es ein minimales solches n, welches wir die Charakteristik Char(K) von K nennen.

(b) Zeigen Sie, dassChar(K) eine Primzahl ist und dass für alle m ∈ Z gilt

m_K= 0_K ⇐⇒ m ∈ Char(K) · Z.

(c) Sei L  := {n_K | n ∈ Z} ⊂ K. Zeigen Sie, dass |L| = Char(K) und dass L ein Unterkörper von K ist.

Answer 1

a) Für \(V\) mit \(\dim_{\mathbb{K}} V = m\) und der Basis \( \{v_1, \dots, v_m\} \) betrachte die bijektive Abbildung:

$$ f: V \to \mathbb{K}^m , v = \sum_{k=1}^m \lambda_k v_k = (\lambda_1, \dots, \lambda_m )^T$$

b) Aus Aufgabe 14: Es ex. ein Unterkörper \(\mathbb{L} \subseteq \mathbb{K} \) mit \(|L| = Char(\mathbb{K})\) und \(\mathbb{K} \) ist ein endlicher Vektorraum über \(\mathbb{L} \)

Aus a) folgt, dass für \(d = \dim_{\mathbb{L}}(\mathbb{K}) \in \mathbb{N} \) gilt:

$$ |K| = Char(\mathbb{K})^d $$

Gruß

Comments

Hallo Yakyu,

warum kann man annehmen, dass Κ ein endlicher Vektorraum über L ist ? Ich weiß doch nur, dass K der Oberkörper von L ist ?

Gruß

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Aus der Aufgabe 14a). Dass der Vektorraum endlich ist folgt ja sofort daraus, dass K endlich ist.