Konvergenz der Teilfolge beweisen (allg. Beweis)

Question

Beh.: Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist ebenfalls konvergent

Kann mir jemand zeigen, wie man die Aussage beweisen kann?

Answer 1

Sei $a_n$ eine konvergente Folge mit Grenzwert $a \in \mathbb{R}$ und $a_{n_k}$ eine Teilfolge.

für $\varepsilon > 0$ ex. ein $N \in \mathbb{N}$, so dass für alle $n \geq N : |a_n - a| < \varepsilon$.

Für $k \geq N$ ist $n_k \geq N$ und somit $|a_{n_k} -a| < \varepsilon$.

Gruß