Konvergenz der Teilfolge beweisen (allg. Beweis)

Question

Beh.: Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist ebenfalls konvergent

Kann mir jemand zeigen, wie man die Aussage beweisen kann?

Answer 1

Sei \(a_n\) eine konvergente Folge mit Grenzwert \(a \in \mathbb{R} \) und \(a_{n_k} \) eine Teilfolge.

für \(\varepsilon > 0 \) ex. ein \(N \in \mathbb{N} \), so dass für alle \( n \geq N : |a_n - a| < \varepsilon\).

Für \( k \geq N \) ist \(n_k \geq N \) und somit \(|a_{n_k} -a| < \varepsilon\).

Gruß