Zeigen Sie unter Verwendung der Grenzwertfunktion

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie unter Verwendung der Grenzwertdefinition $(\epsilon-\mathrm{N}(\varepsilon))$, dass gilt:

a) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 n^{2}}=0$

b) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{4 n}{12 n-7}=\frac{1}{3}$

Answer 1

 (du meinst wohl die Grenzwertdefinition)

a)  

zu zeigen:   lim(n→∞)  1/(2n²) = 0

Sei ε ∈ ℝ⁺ beliebig aber fest.

Wähle N(ε) :=   √[1/(2ε)]   (ergibt sich am Schluss)

dann gilt für n > N(ε) :  | a_n - 0 | < ε , denn

| 1/(2n²) - 0 | < ε  ⇔ 1/(2n²)  < ε ⇔ n² > 1/(2ε) ⇔ n >  √[1/(2ε)]    q.e.d

b)        

zu zeigen:  lim(n→∞)   $\frac{4n}{12n-7}$ =  $\frac{1}{3}$ 

Sei ε ∈ ℝ⁺ beliebig aber fest.

Wähle N(ε) :=    $\frac{1}{36}$· ($\frac{7}{ε}$ + 21) (ergibt sich am Schluss)

dann gilt für n > N(ε) :  | a_n - $\frac{1}{3}$ | < ε , denn

| $\frac{4n}{12n-7}$  -  $\frac{1}{3}$ |  =  | $\frac{12n-(12n-7)}{3·(12n-7)}$ | =  | $\frac{7}{36n-21}$ | = $\frac{7}{36n-21}$ 

und damit  $\frac{7}{36n-21}$ < ε   ⇔ n > $\frac{1}{36}$· ($\frac{7}{ε}$ + 21)   q.e.d.

Gruß Wolfgang